电流密度的计算

导体中任意一点电流密度\(j\)的方向为改点正电荷的运动方向；\(j\)的大小等于在单位时间内，通过该点附近垂直与正电荷运动方向的单位面积的电荷。
按照这样的规定，某点处的电流密度公式可以写作:

\[j = \frac{\Delta I}{\Delta S \cos{\alpha}} \]

由此，通过导体任一有限截面\(S\)的电流为:

\[I = \int _{s} \vec{J}\cdot d\vec{S} \]

对于一段导体内载流子运动的分析，可以在无限小的面元内得到:

\[\Delta I = qnv\Delta S \]

从而

\[j = qnv \]

(q: 载流子电荷量, n单位体积内载流子的数目, v载流子的平均流速)

电流的连续性方程

由于在封闭曲面中：

\[\frac{dQ}{dt} = \int_s \vec{j} \cdot d\vec{S} \]

(\(Q\)表示流出曲面的电荷量)
又由电荷守恒定律：

\[\frac{dQ}{dt} = -\frac{dQi}{dt} \]

(\(Q_i\)表示曲面内电荷量)
得：

\[\int_s \vec{j} \cdot d\vec{S} = -\frac{dQi}{dt} \]

欧姆定律的微分形式

常见的欧姆定律:\(dI = \frac{dU}{R}\), 其中\(R = \rho \frac{dl}{dS}\)
从而:

\[\frac{dI}{dS} = \frac{1}{\rho} \frac{dU}{dl} \]

即:

\[j = \frac{1}{\rho} E \]

考虑到上式中电流密度和电场强度均为矢量, 且方向相同, 故有:

\[\vec{j} = \gamma \vec{E} \]