带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数

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第3章 Lebesgue可测函数

为了给下一章开始的Lebesgue积分的研究打下基础,本章对可测函数进行研究.如同闭有界区间上的所有单调函数与阶梯函数一样,所有可测定义域上的连续实值函数是可测的.可测函数的线性组合是可测的.可测函数序列的逐点极限是可测的.我们证明用简单函数和连续函数逼近可测函数的结果.

3.1 和、积与复合

本章考虑的所有函数取值于扩充实数,即集合R∪{±∞}.回忆一下,一个性质称为在可测集E上几乎处处(简写为a.e.)成立,若它在E~E0上成立,其中E0是E的满足m(E0)=0的子集.
给定定义在E上的两个函数h和g.为了记号上的简洁,我们常写“在E上,h≤g”来表示对所有x∈E,h(x)≤g(x).我们说E上的函数序列{fn}是递增的,若对每个指标n,在E上带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数.
命题1 令函数f有可测定义域E.则以下叙述等价:
(i) 对每个实数c,集合{x∈Ef(x)>c}是可测的.
(ii) 对每个实数c,集合{x∈Ef(x)≥c}是可测的.
(iii) 对每个实数c,集合{x∈Ef(x)(iv) 对每个实数c,集合{x∈Ef(x)≤c}是可测的.
这些性质中的每一个都蕴涵着对每个扩充实数c,

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证明 如同(ii)和(iii)中的集合,由于(i)和(iv)中的集合在E中互为补集,而E的可测子集在E中的补集是可测的,所以(ii)和(iii)、(i)和(iv)是等价的.
现在(i)蕴涵(ii),这是由于

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可测集的可数族的交是可测的.类似地,(ii)蕴涵(i),这是由于

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可测集的可数族的并是可测的.
因此陈述(i)~(iv)是等价的.现在假设它们中的一个成立,因此它们中的所有成立.
若c是实数,{x∈Ef(x)=c}={x∈Ef(x)≥c}∩{x∈Ef(x)≤c},因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的,这是由于它是两个可测集的交.另一方面,若c是无穷的,即c=∞,

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因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的,这是由于它是可测集的可数族的交.
定义 定义在E上的扩充的实值函数f称为是Lebesgue可测的,或简单地称为可测的,若它的定义域E是可测的且它满足命题1的四个陈述之一.
命题2 令f为定义在可测集E上的实值函数.则函数f是可测的当且仅当对每个开集O,O在f下的原象带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的.
证明 若每个开集的原象是可测的,则由于每个区间(c,∞)是开的,函数f是可测的.反过来,假定f是可测的.令O为开的.则我们可将O表示为开有界区间的可数族带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数的并,其中每个Ik可表示为Bk∩Ak,而Bk=(-∞,bk),Ak=(ak,∞).由于f是可测函数,每个带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测集.另一方面,可测集是σ代数,因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的,这是由于

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以下命题告诉我们初等分析中最为熟悉的连续函数是可测的.
命题3 在可测集定义域上连续的实值函数是可测的.
证明 令函数f在可测集E上连续.令O为开的.由于f是连续的,带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数=E∩U,其中U是开的.因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数作为两个可测集的交是可测的.从前一个命题得知f是可测的.递增或递减的实值函数称为是单调的.我们将下一个命题的证明留作练习(见习题24).
命题4 定义在区间上的单调函数是可测的.
命题5 令f为E上的扩充的实值函数.
(i) 若f在E上可测,而在E上f=g a.e.,则g在E上可测.
(ii) 对于E的可测子集D,f在E上是可测的当且仅当f在D和E~D上的限制是可测的.
证明 首先假设f是可测的.定义A={x∈Ef(x)≠g(x)}.观察到{x∈Eg(x)>c}={x∈Ag(x)>c}∪[{x∈Ef(x)>c}∩[E~A]]由于在E上f=g a.e.,m(A)=0.因此{x∈Ag(x)>c}是可测的,这是由于它是零测度集的子集.集合{x∈Af(x)>c}是可测的,这是由于f在E上是可测的.由于E和A都是可测的,而可测集是一个代数,集合{x∈Eg(x)>c}是可测的.为验证(ii),只要观察到对任何c,

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且又一次利用可测集是一个代数这一事实.
两个可测的扩充实值函数f和g的和f+g在那些f和g取异号的无穷值的点不是恰当定义的.假设f和g在E上a.e.有限.定义集合E0为E中那些使得f和g都是有限的点的集合.若f+g在E0上的限制是可测的,则由前一个命题,f+g的任何到整个E的延拓,作为扩充的实值函数也是可测的.这是我们认为“两个a.e.有限可测函数的和是可测”毫无歧义的道理.类似的说明适用于乘积.以下命题告诉我们实施在a.e.有限可测函数上的标准的代数运算仍然导出可测函数.
定理6 令f和g为E上的可测函数,在E上a.e.有限.
(线性)对任何α和β,

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(乘积)

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证明 根据以上的说明,我们可以假设f和g在整个E上有限.若α=0,则函数αf也是可测的.若α≠0,观察到对于数c,

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因此f的可测性蕴涵αf的可测性.因此为证明线性仅须考虑α=β=1的情形.
对于x∈E,若f(x)+g(x)<c,则f(x)<c-g(x),从而根据有理数集Q在R中的稠密性,存在有理数q使得

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因此,

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有理数是可数的.因此{x∈Ef(x)+g(x)<c}是可测的,这是由于它是可测集的可数族的并.因此f+g是可测的.
为证明可测函数的乘积是可测的,首先观察到

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因此,由于我们已证明线性,为证明两个可测函数的乘积是可测的,仅须证明可测函数的平方是可测的.对c≥0,

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而对于c<0,

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因此f^2是可测的.
初等分析中考虑过的许多函数性质,包括连续性和可微性,在函数的复合运算下依然成立.然而,可测函数的复合可以不是可测的.
例子 存在两个可测实值函数,每个定义在整个R上,其复合不是可测的.根据第2章的命题21,存在定义在[0,1]上的连续严格递增函数ψ和[0,1]的可测子集A,使得ψ(A)是不可测的.延拓ψ为R映上R的连续严格递增函数.函数ψ^-1是连续的,因此是可测的.另一方面,A是可测集,从而它的特征函数(其定义见3.2节)χA是可测函数.我们宣称复合函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是不可测的.事实上,若I是任何包含1但不包含0的开区间,则它在f下的原象是不可测集ψ(A).
尽管有该例子施加的阻碍,但存在关于在复合下可测性成立的如下有用的命题(也见习题11).
命题7 令g为定义在E上的可测实值函数,而f为定义在整个R上的连续实值函数.则复合f·g是E上的可测函数.
证明 根据命题2,实值函数是可测的当且仅当每个开集的原象是可测的.令O为开的.则

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由于f是连续的且定义在开集上,集合U=f-1(O)是开的.我们从函数g的可测性推出带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的.因此原象带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的,因而复合函数f·g是可测的.
上面结果的一个直接的重要推论是:若具有定义域E的函数f是可测的,则|f|是可测的,且事实上对每个p>0,具有共同的定义域E的|f|^p是可测的.
对于具有共同定义域E的函数的有限簇带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,函数

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在E上的定义为

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以相同方式定义函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数.
命题8 对于具有共同定义域E的可测函数的有限簇带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数也是可测的.
证明 对任何c,我们有

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因此该集合是可测的,这是由于它是可测集的有限并.因此函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的.用类似的方法可证明函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数也是可测的.
对于定义在E上的函数f,我们有与之相联系的定义在E上的函数|f|、f+和f-,|f|(x)=max{f(x),-f(x)}, f+(x)=max{f(x),0}, f-(x)=max{-f(x),0}若f在E上可测,则根据前一个命题,函数|f|、f+和f-也可测.当我们研究积分时这是重要的,由于将f表示为E上的两个非负函数的差

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的表示方式在定义Lebesgue积分时起着重要作用.

习题

1.假定f和g是[a,b]上的连续函数.证明:若在[a,b]上f=g,a.e.,则事实上在[a,b]上f=g.若[a,b]换成一般的可测集E,类似的断言是否成立?
2.令D和E为可测集,而f是以D∪E为定义域的函数.我们证明f在D∪E上是可测的当且仅当它限制在D和E上是可测的.若“可测的”换作“连续的”,同样结论是否成立?
3.假定函数f有可测定义域且除有限个点外是连续的.f是否必然可测?
4.假定f是R上的实值函数,使得对每个数c,带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的.f必然是可测的吗?
5.假定函数f定义在可测集E上且有性质:对每个有理数c,{x∈Ef(x)>c}是可测集.F必然是可测函数吗?
6.令f为具有可测定义域D的函数.证明f是可测的当且仅当R上的定义如下的函数g:对x∈D,g(x)=f(x),而对x∉D,g(x)=0是可测的.
7.令函数f为定义在可测集E上的函数.证明f是可测的当且仅当对每个Borel集A,带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的.(提示:具有性质带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的集合A的族是一个σ代数.)
8.(Borel可测性)函数f称为是Borel可测的,若它的定义域E是Borel集,且对每个c,集合{x∈Ef(x)>c}是Borel集.证明若我们用“Borel集”代替“Lebesgue可测集”,命题1和定理6仍然成立.证明:(i)每个Borel可测函数是Lebesgue可测的;(ii)若f是Borel可测的且B是Borel集,则带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是一个Borel集;(iii)若f和g是Borel可测的,则f·g也是;(iv)若f是Borel可测的且g是Lebesgue可测的,则f·g是Lebesgue可测的.
9.令{fn}为定义在可测集E上的可测函数序列.定义E0为E中那些使得{fn(x)}收敛的点x所组成的集合.集合E0是可测的吗?
10.假定f和g是定义在整个R上的实值函数,f是可测的,而g是连续的.复合f·g必然是可测的吗?
11.令f为可测函数而g是从R映上R的具有Lipschitz逆的一对一的函数.证明复合f·g是可测的.(提示:参考第2章的习题37.)

3.2 序列的逐点极限与简单逼近

对于具有共同定义域E的函数序列{fn}和E上的函数f,存在几个不同的方式叙述“序列{fn}收敛于f”,有必要考虑每一种方式意味着什么.
本章我们考虑具有共同定义域E的函数序列{fn}逐点收敛和一致收敛的概念,这些概念在初等分析中是熟知的.在后面的几章我们考虑许多其他模式的函数序列收敛.
定义 对具有共同定义域E的函数序列{fn},E上的函数f,以及E的子集A,我们说
(i) 序列{fn}在A上逐点收敛于f,若

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(ii) 在A上序列{fn}a.e.逐点收敛于f,若它在A~B上逐点收敛到f,其中m(B)=0.
(iii) 序列{fn}在A上一致收敛于f,若对每个ε>0,存在指标N,使得

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当考虑函数序列{fn}和它们收敛到的函数f时,我们常常隐含假设所有函数有共同的定义域,我们写“在A上逐点{fn}→f”以表明在A上{fn}逐点收敛到f,且对一致收敛用类似的记号.
连续函数的逐点极限不一定是连续的.Riemann可积函数的逐点极限不一定是Riemann可积的.以下命题首次显示了可测函数有好得多的稳定性.
命题9 令{fn}为E上的a.e.逐点收敛于函数f的可测函数序列.则f是可测的.
证明 令E0为E的子集使得m(E0)=0而{fn}在E~E0上逐点收敛于f.由于m(E0)=0,从命题5得知f是可测的当且仅当它在E~E0上的限制是可测的.因此,通过可能地用E~E0替代E,我们可以假设序列在整个E上逐点收敛.
固定数c.我们必须证明{x∈Ef(x),

f(x)<c

当且仅当存在自然数n和k使得对所有j≥k,fj(x)<c-1/n.
但是对于任何自然数n和j,集合{x∈Efj(x)

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也是可测的.因此,由于可测集的可数族的并是可测的,

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是可测的.
若A是任意集合,A的特征函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是定义为

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R上的函数.
显然函数带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是可测的当且仅当集合A是可测的.因此不可测集的存在性蕴涵着不可测函数的存在性.可测集的特征函数的线性组合在Lebesgue积分中所起的作用类似于阶梯函数在Riemann积分中所起的作用,因而我们将对这些函数命名.
定义 定义在可测集E上的实值函数φ称为简单的,若它是可测的且仅取有限个值.我们强调简单函数仅取实值.简单函数的线性组合与乘积是简单的,这是由于它们中的每个仅取有限个值.若φ是简单的,具有定义域E且取不同值c1,…,cn,则在E上

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φ的特征函数的线性组合的特定的表示称为简单函数φ的典范表示.
简单逼近引理 令f为E上的可测实值函数.假设f在E上有界,即存在M≥0,使得在E上|f|≤M.则对每个ε>0,存在定义在E上的简单函数φε和ψε具有以下逼近性质:在E上, 

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证明 令(c,d)为包含E的象f(E)的开有界区间,且

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为闭有界区间[c,d]的一个划分,使得对带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数.
定义

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由于每个Ik是区间而函数f是可测的,每个集合Ek是可测的.定义E上的简单函数φε和ψε为

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令x属于E.由于带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,存在唯一的k(1≤k≤n),使得带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,因此

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带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,因此φε和ψε有所要求的逼近性质.
我们添加以下定理到我们已建立的可测函数的刻画中.
简单逼近定理 定义在可测集E上的扩充实值函数f是可测的当且仅当存在E上的简单函数序列{φn},它在E上逐点收敛到f且具有性质:

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若f是非负的,我们可选取{φn}为递增的.
证明 由于每个简单函数是可测的,命题9告诉我们若一个函数是简单函数序列的逐点极限,则它是可测的.剩下来要证明逆命题.
假设f是可测的.我们也假设在E上f≥0.一般情形通过将f表示为非负可测函数的差(见习题23)得到.令n为自然数.定义En={x∈E|f(x)≤n}.则En是可测集而f在En的限制是非负有界可测函数.将简单逼近引理用于f在En的限制,且选取ε=1/n,我们可以选取定义在En上的简单函数φn和ψn,它们具有以下逼近性质:带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
观察到带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
若f(x)>n,通过设φn(x)=n,将φn延拓到整个E.函数φn是定义在E上的简单函数且在E上0≤φn≤f.我们宣称序列{φn}在E上逐点收敛于f.令x属于E.
情形1:假设f(x)是有限的.选取一个自然数N使得f(x)
因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数.
情形2:假设f(x)=∞.则对所有n,φn(x)=n,因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数.
通过用max{φ1,…,φn}代替每个φn,我们有{φn}是递增的.

习题

12.令f为E上的有界可测函数.证明存在E上的简单函数序列{φn}和{ψn},使得{φn}是递增的而{ψn}是递减的,且这些序列的每个在E上一致收敛于f.

13.实值可测函数称为半简单的,若它仅取可数个值.令f为E上的任意可测函数.证明存在E上的半简单函数序列{fn},它在E上一致收敛于f.

14.令f为E上的可测函数,其在E上a.e.有限且m(E)<∞.证明对每个ε>0,存在包含于E的可测集F,使得f在F上是有界的且m(E~F)<ε.

15.令f为E上的有界可测函数,其在E上a.e.有限且m(E)<∞.证明对每个ε>0,存在包含于E的可测集F和E上的简单函数序列{φn}使得在F上一致地{φn}→f且m(E~F)<ε.(提示:见前一个习题.)

16.令I为闭有界区间而E是I的可测子集.令ε>0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集F,使得带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数(提示:用第2章的定理12.)

17.令I为闭有界区间而ψ是定义在I上的简单函数.令ε>0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集F,使得在F上, h=ψ且m(I~F)<ε(提示:用简单函数是特征函数的线性组合的事实以及前一个习题.)

18.令I为闭有界区间而f是定义在I上的有界可测函数.令ε>0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集F,使得带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数

19.证明如同max与min,两个简单函数的和与积是简单的.

20.令A和B为任意集.证明带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数

21.对于具有共同定义域的可测函数序列{fn},证明以下函数都是可测的:带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数

22.(Dini定理)令{fn}为[a,b]上的连续函数的递增序列,它在[a,b]上逐点收敛于[a,b]上的连续函数f.证明该收敛在[a,b]上是一致的.(提示:令ε>0.对每个自然数n,定义En={x∈[a,b]f(x)-fn(x)<ε}.证明{En}是[a,b]的开覆盖并用Heine-Borel定理.)

23.将可测函数表示为非负可测函数的差,进而基于非负可测函数的特殊情形证明一般的简单逼近定理.

24.令I为区间而f:I→R是递增的.通过首先证明对每个自然数n严格递增的函数xf(x)+x/n是可测的,接着取逐点极限,证明f是可测的.

3.3 Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理

谈到一元实变量的函数论,J.E.Littlewood说:“所要求的知识范围不像有时料想的那么多.有三个原理,大致可用术语表述如下:每个可测集接近于区间的有限并,每个可测函数接近于连续函数;每个逐点收敛的可测函数序列接近于一致收敛的函数序列.实变函数论中的大部分结果是这些思想相当直观的应用.学生们掌握了这些等于掌握了大多数情况下实变函数理论所要求的(知识).若其中一个原理是解决一个十分真实的问题的明显的方法,那么自然要问这个‘接近’是否足够,而实际上对于一个可以解决的问题,这个‘接近’一般是足够的.”
第2章的定理12是Littlewood第一原理的精确阐述:它告诉我们给定有限测度的可测集E,则对每个ε>0,存在开区间的有限不交族,其并集U在带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数的意义下“接近等于”E.
Littlewood的最后原理的精确实现是以下令人惊讶的定理.
Egoroff定理 假设E具有有限测度.令{fn}为E上的逐点收敛于实值函数f的可测函数序列.则对每个ε>0,存在包含于E的闭集F,使得在F上带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
为证Egoroff定理,首先建立以下引理是方便的.
引理10 在Egoroff定理的假设下,对每个η>0和δ>0,存在E的可测子集A和指标N,使得对所有n≥N和m(E~A)<δ,在A上|fn-f|<η.
证明 对每个k,函数|f-fk|是恰当定义的,这是由于f是实值的,它是可测的,所以集合{x∈E|f(x)-fk(x)<η}是可测的.可测集的可数族的交集是可测的.因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
是一个可测集.则带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是上升的可测集族,且带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,这是由于{fn}在E上逐点收敛于f.我们从测度的连续性推出带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
由于m(E)<∞,我们可以选取指标N使得m(EN)>m(E)-δ.定义A=EN且观察到,根据测度的分割性质,m(E~A)=m(E)-m(EN)<δ.
Egoroff定理的证明 对每个自然数n,令An为E的可测子集而N(n)是满足前一个引理结论的指标,其中带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,即带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
定义带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
根据De Morgan等式、测度的可数次可加性以及式(2),带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
我们宣称{fn}在A上一致收敛于f.事实上,令ε>0.选取指标n0使得1/n0<ε.则由(3),带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
然而,带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,因此带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
因此在A上{fn}一致收敛于f且m(E~A)<ε/2.
最后,根据第2章的定理11,我们可以选取包含于A的闭子集F,使得m(A~F)<ε/2.因此m(A~F)<ε且在F上一致地{fn}→f.
若收敛是a.e.逐点的且极限函数是a.e.有限的,显然Egoroff定理也成立.
我们现在在可测函数是简单的情形下给出Littlewood第二原理的精确版本,接着用这个特殊的情形去证明该原理的一般情形——Lusin定理.
命题11 令f为定义在E上的简单函数.则对每个ε>0,存在R上的连续函数g和一个包含于E的闭集F,使得带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
证明 令a1,a2,…,an为f取的有限个不同的值,并且令它们分别在集合E1,E2,…,En上被取到.由于这些ak是不同的,族带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数是不交的.根据第2章的定理11,我们可以选取闭集F1,F2,…,Fn使得对每个指标k(1≤k≤n),带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数作为闭集的有限族的并集是闭的.由于{Ek}nk=1是不交的,带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
在F上定义g为在Fk上取值ak的函数,1≤k≤n.由于族{Fk}nk=1是不交的,g是恰当定义的.此外,g在F上是连续的,这是由于对点x∈Fi,存在包含x的开区间,它与闭集带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数不交,因而函数g在该区间与F的交集上是常数.但g可从闭集F上的连续函数延拓为整个R上的连续函数(见习题25).R上的连续函数g有我们所要的逼近性质.
Lusin定理 令f为定义在E上的实值可测函数.则对每个ε>0,存在R上的连续函数g和一个包含于E的闭集F,使得
带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
证明 我们考虑m(E)<∞的情形,而将推广到m(E)=∞作为练习.根据简单逼近定理,存在定义在E上的简单函数序列{fn}在E上逐点收敛于f.令n为自然数.根据前一个命题,其中用fn代替f且用ε/2n+1代替ε,我们可以选取R上的连续函数gn和包含于E的闭集Fn,使得带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
根据Egoroff定理,存在包含于E的闭集F0使得{fn}在F0上一致收敛到f且m(E~F0)<ε/2.定义带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数.根据De Morgan等式和测度的可数次可加性,观察到带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数
由于集合F是闭集的交,它是闭的.由于带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数且在Fn上fn=gn,每个fn在F上是连续的.最后,由于带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,{fn}在F上一致地收敛于f.然而,连续函数的一致极限是连续的,因此f在F上的限制是连续的.最后,存在定义在整个R上的连续函数g,它在F上的限制等于f(见习题25).函数g有我们所要的逼近性质.

习题

25.假定f是在实数的闭集F上连续的函数.证明f有到整个R的连续延拓.这是即将介绍的Tietze延拓定理的特殊情形.(提示:将R~F表示为开区间的可数不交族的并集,且定义f在这些区间的每个的闭包上是线性的.)

26.对于Lusin定理叙述中的函数f和集合F,证明f在F上的限制是连续函数.是否一定存在一些点,当考虑f为E上的函数时,它在这些点是连续的?

27.证明:若去掉定义域具有有限测度的假设,Egoroff定理的结论可能不成立.

28.证明:若收敛是a.e.逐点的而f是a.e.有限的,Egoroff定理仍然成立.

29.证明Lusin定理可推广到E具有无穷测度的情形.

30.证明Lusin定理可推广到f不必是实值,但是可以为a.e.有限的情形.

31.令{fn}为E上的可测函数序列,它在E上逐点收敛于实值函数f.证明带你读《实分析(原书第4版)》之四:Lebesgue可测函数,其中对每个指标k,Ek是可测的,且若k>1,在每个Ek上{fn}一致收敛于f,且m(E1)=0.

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