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第3章　Lebesgue可测函数

为了给下一章开始的Lebesgue积分的研究打下基础，本章对可测函数进行研究.如同闭有界区间上的所有单调函数与阶梯函数一样，所有可测定义域上的连续实值函数是可测的.可测函数的线性组合是可测的.可测函数序列的逐点极限是可测的.我们证明用简单函数和连续函数逼近可测函数的结果.

3.1　和、积与复合

本章考虑的所有函数取值于扩充实数，即集合R∪{±∞}.回忆一下，一个性质称为在可测集E上几乎处处（简写为a.e.）成立，若它在E~E0上成立，其中E0是E的满足m（E0）=0的子集.
给定定义在Ｅ上的两个函数h和g.为了记号上的简洁，我们常写“在Ｅ上，h≤g”来表示对所有x∈E，h（ｘ）≤g（ｘ）.我们说E上的函数序列{fn}是递增的，若对每个指标n，在E上.
命题1　令函数ｆ有可测定义域E.则以下叙述等价：
（i） 对每个实数c，集合{x∈Ef（x）>c}是可测的.
（ii） 对每个实数c，集合{x∈Ef（x）≥c}是可测的.
（iii） 对每个实数c，集合{x∈Ef（x）（iv） 对每个实数c，集合{x∈Ef（x）≤c}是可测的.
这些性质中的每一个都蕴涵着对每个扩充实数ｃ，

证明　如同（ii）和（iii）中的集合，由于（i）和（iv）中的集合在E中互为补集，而E的可测子集在E中的补集是可测的，所以（ii）和（iii）、（i）和（iv）是等价的.
现在（i）蕴涵（ii），这是由于

可测集的可数族的交是可测的.类似地，（ii）蕴涵（i），这是由于

可测集的可数族的并是可测的.
因此陈述（i）～（iv）是等价的.现在假设它们中的一个成立，因此它们中的所有成立.
若ｃ是实数，{x∈Ef（x）=c}={x∈Ef（x）≥c}∩{x∈Ef（x）≤c}，因此是可测的，这是由于它是两个可测集的交.另一方面，若ｃ是无穷的，即c=∞，

因此是可测的，这是由于它是可测集的可数族的交.
定义　定义在Ｅ上的扩充的实值函数f称为是Lebesgue可测的，或简单地称为可测的，若它的定义域Ｅ是可测的且它满足命题1的四个陈述之一.
命题2　令f为定义在可测集Ｅ上的实值函数.则函数f是可测的当且仅当对每个开集O，O在ｆ下的原象是可测的.
证明　若每个开集的原象是可测的，则由于每个区间（c，∞）是开的，函数f是可测的.反过来，假定f是可测的.令O为开的.则我们可将O表示为开有界区间的可数族的并，其中每个Ik可表示为Bk∩Ak，而Bk＝（-∞，bk），Ak＝（ak，∞）.由于f是可测函数，每个是可测集.另一方面，可测集是σ代数，因此是可测的，这是由于

以下命题告诉我们初等分析中最为熟悉的连续函数是可测的.
命题3　在可测集定义域上连续的实值函数是可测的.
证明　令函数ｆ在可测集E上连续.令O为开的.由于f是连续的，=E∩U，其中U是开的.因此作为两个可测集的交是可测的.从前一个命题得知ｆ是可测的.递增或递减的实值函数称为是单调的.我们将下一个命题的证明留作练习（见习题24）.
命题4　定义在区间上的单调函数是可测的.
命题5　令f为E上的扩充的实值函数.
（i） 若f在E上可测，而在E上f=g a.e.，则g在E上可测.
（ii） 对于E的可测子集Ｄ，f在E上是可测的当且仅当f在D和E~D上的限制是可测的.
证明　首先假设f是可测的.定义A={x∈Ef（x）≠g（x）}.观察到{x∈Eg（x）＞c}={x∈Ag（x）＞c}∪［{x∈Ef（x）＞c}∩［E~A］］由于在E上f=g a.e.，m（A）=0.因此｛ｘ∈Ａｇ（ｘ）＞ｃ｝是可测的，这是由于它是零测度集的子集.集合｛ｘ∈Ａf（ｘ）＞ｃ｝是可测的，这是由于ｆ在Ｅ上是可测的.由于E和A都是可测的，而可测集是一个代数，集合｛ｘ∈Eｇ（ｘ）＞ｃ｝是可测的.为验证（ii），只要观察到对任何ｃ，

且又一次利用可测集是一个代数这一事实.
两个可测的扩充实值函数ｆ和ｇ的和f+g在那些f和g取异号的无穷值的点不是恰当定义的.假设f和g在E上a.e.有限.定义集合E0为E中那些使得f和g都是有限的点的集合.若f+g在E0上的限制是可测的，则由前一个命题，f+g的任何到整个E的延拓，作为扩充的实值函数也是可测的.这是我们认为“两个a.e.有限可测函数的和是可测”毫无歧义的道理.类似的说明适用于乘积.以下命题告诉我们实施在a.e.有限可测函数上的标准的代数运算仍然导出可测函数.
定理6　令f和g为E上的可测函数，在Ｅ上a.e.有限.
（线性）对任何α和β，

（乘积）

证明　根据以上的说明，我们可以假设f和g在整个Ｅ上有限.若α=0，则函数αｆ也是可测的.若α≠0，观察到对于数c，

而

因此f的可测性蕴涵αｆ的可测性.因此为证明线性仅须考虑α=β=1的情形.
对于x∈E，若ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＜ｃ，则ｆ（ｘ）＜ｃ-ｇ（ｘ），从而根据有理数集Ｑ在Ｒ中的稠密性，存在有理数q使得

因此，

有理数是可数的.因此｛ｘ∈Ｅｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＜ｃ｝是可测的，这是由于它是可测集的可数族的并.因此ｆ＋ｇ是可测的.
为证明可测函数的乘积是可测的，首先观察到

因此，由于我们已证明线性，为证明两个可测函数的乘积是可测的，仅须证明可测函数的平方是可测的.对c≥0，

而对于ｃ＜０，

因此f^2是可测的.
初等分析中考虑过的许多函数性质，包括连续性和可微性，在函数的复合运算下依然成立.然而，可测函数的复合可以不是可测的.
例子 存在两个可测实值函数，每个定义在整个Ｒ上，其复合不是可测的.根据第2章的命题21，存在定义在［０，１］上的连续严格递增函数ψ和［０，１］的可测子集Ａ，使得ψ（A）是不可测的.延拓ψ为Ｒ映上Ｒ的连续严格递增函数.函数ψ^-1是连续的，因此是可测的.另一方面，Ａ是可测集，从而它的特征函数（其定义见3.2节）χA是可测函数.我们宣称复合函数是不可测的.事实上，若I是任何包含１但不包含０的开区间，则它在f下的原象是不可测集ψ（A）.
尽管有该例子施加的阻碍，但存在关于在复合下可测性成立的如下有用的命题（也见习题１１）.
命题7　令g为定义在E上的可测实值函数，而f为定义在整个R上的连续实值函数.则复合ｆ·ｇ是Ｅ上的可测函数.
证明　根据命题2，实值函数是可测的当且仅当每个开集的原象是可测的.令O为开的.则

由于f是连续的且定义在开集上，集合U＝f-1（O）是开的.我们从函数ｇ的可测性推出是可测的.因此原象是可测的，因而复合函数f·g是可测的.
上面结果的一个直接的重要推论是：若具有定义域E的函数ｆ是可测的，则|f|是可测的，且事实上对每个p>0，具有共同的定义域E的|f|^p是可测的.
对于具有共同定义域E的函数的有限簇，函数

在E上的定义为

以相同方式定义函数.
命题8　对于具有共同定义域Ｅ的可测函数的有限簇，函数和也是可测的.
证明　对任何c，我们有

因此该集合是可测的，这是由于它是可测集的有限并.因此函数是可测的.用类似的方法可证明函数也是可测的.
对于定义在E上的函数f，我们有与之相联系的定义在E上的函数|f|、f+和f-，|f|（x）=max{f（x）,-f（x）},　f+（x）=max{f（x）,0},　f-（x）=max{-f（x）,0}若f在E上可测，则根据前一个命题，函数|f|、f+和f-也可测.当我们研究积分时这是重要的，由于将f表示为E上的两个非负函数的差

的表示方式在定义Lebesgue积分时起着重要作用.

习题

1.假定f和g是［a,b］上的连续函数.证明：若在［a,b］上f=g，a.e.，则事实上在［a,b］上f=g.若［a,b］换成一般的可测集E，类似的断言是否成立？
2.令D和E为可测集，而f是以D∪E为定义域的函数.我们证明f在D∪E上是可测的当且仅当它限制在D和E上是可测的.若“可测的”换作“连续的”，同样结论是否成立？
3.假定函数f有可测定义域且除有限个点外是连续的.f是否必然可测？
4.假定f是R上的实值函数，使得对每个数c，是可测的.f必然是可测的吗？
5.假定函数f定义在可测集E上且有性质：对每个有理数c，｛ｘ∈Ｅｆ（ｘ）＞ｃ｝是可测集.F必然是可测函数吗？
6.令ｆ为具有可测定义域Ｄ的函数.证明f是可测的当且仅当Ｒ上的定义如下的函数g：对x∈D，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ），而对x∉D，ｇ（ｘ）＝０是可测的.
7.令函数f为定义在可测集E上的函数.证明f是可测的当且仅当对每个Borel集A，是可测的.（提示：具有性质是可测的集合A的族是一个σ代数.）
8.（Borel可测性）函数f称为是Borel可测的，若它的定义域E是Borel集，且对每个c，集合{x∈Ef（x）>c}是Borel集.证明若我们用“Borel集”代替“Lebesgue可测集”，命题１和定理６仍然成立.证明：（i）每个Borel可测函数是Lebesgue可测的；（ii）若f是Borel可测的且B是Borel集，则是一个Borel集；（iii）若f和g是Borel可测的，则f·g也是；（iv）若f是Borel可测的且ｇ是Lebesgue可测的，则f·g是Lebesgue可测的.
9.令｛fn｝为定义在可测集E上的可测函数序列.定义E0为E中那些使得｛fn（x）｝收敛的点x所组成的集合.集合E0是可测的吗？
10.假定f和g是定义在整个R上的实值函数，f是可测的，而g是连续的.复合ｆ·ｇ必然是可测的吗？
11.令f为可测函数而g是从R映上R的具有Lipschitz逆的一对一的函数.证明复合ｆ·ｇ是可测的.（提示：参考第2章的习题37.）

3.2　序列的逐点极限与简单逼近

对于具有共同定义域E的函数序列｛fn｝和Ｅ上的函数ｆ，存在几个不同的方式叙述“序列｛fn｝收敛于f”，有必要考虑每一种方式意味着什么.
本章我们考虑具有共同定义域E的函数序列｛fn｝逐点收敛和一致收敛的概念，这些概念在初等分析中是熟知的.在后面的几章我们考虑许多其他模式的函数序列收敛.
定义　对具有共同定义域Ｅ的函数序列｛fn｝，Ｅ上的函数ｆ，以及E的子集A，我们说
（i） 序列｛fn｝在A上逐点收敛于ｆ，若

（ii） 在A上序列｛fn｝a.e.逐点收敛于ｆ，若它在Ａ～Ｂ上逐点收敛到ｆ，其中ｍ（Ｂ）＝0.
（iii） 序列｛fn｝在A上一致收敛于ｆ，若对每个ε＞０，存在指标Ｎ，使得

当考虑函数序列｛fn｝和它们收敛到的函数f时，我们常常隐含假设所有函数有共同的定义域，我们写“在A上逐点｛fn｝→f”以表明在A上｛fn｝逐点收敛到f，且对一致收敛用类似的记号.
连续函数的逐点极限不一定是连续的.Riemann可积函数的逐点极限不一定是Riemann可积的.以下命题首次显示了可测函数有好得多的稳定性.
命题９　令｛fn｝为Ｅ上的a.e.逐点收敛于函数f的可测函数序列.则ｆ是可测的.
证明　令E0为E的子集使得m（E0）=0而｛fn｝在E~E0上逐点收敛于ｆ.由于m（E0）=0，从命题5得知f是可测的当且仅当它在E~E0上的限制是可测的.因此，通过可能地用E~E0替代E，我们可以假设序列在整个E上逐点收敛.
固定数c.我们必须证明{x∈Ef（x），

ｆ（ｘ）＜ｃ

当且仅当存在自然数n和k使得对所有j≥k，fj（x）＜ｃ-１／ｎ.
但是对于任何自然数n和j，集合{x∈Efj（x）

也是可测的.因此，由于可测集的可数族的并是可测的，

是可测的.
若A是任意集合，A的特征函数是定义为

Ｒ上的函数.
显然函数是可测的当且仅当集合A是可测的.因此不可测集的存在性蕴涵着不可测函数的存在性.可测集的特征函数的线性组合在Lebesgue积分中所起的作用类似于阶梯函数在Riemann积分中所起的作用，因而我们将对这些函数命名.
定义　定义在可测集Ｅ上的实值函数φ称为简单的，若它是可测的且仅取有限个值.我们强调简单函数仅取实值.简单函数的线性组合与乘积是简单的，这是由于它们中的每个仅取有限个值.若φ是简单的，具有定义域Ｅ且取不同值c1，…，cn，则在E上

φ的特征函数的线性组合的特定的表示称为简单函数φ的典范表示.
简单逼近引理　令ｆ为E上的可测实值函数.假设ｆ在Ｅ上有界，即存在M≥0，使得在Ｅ上|ｆ|≤Ｍ.则对每个ε＞０，存在定义在E上的简单函数φε和ψε具有以下逼近性质：在Ｅ上，　

证明　令（ｃ，ｄ）为包含E的象f（E）的开有界区间，且

为闭有界区间［ｃ，ｄ］的一个划分，使得对.
定义

由于每个Ik是区间而函数ｆ是可测的，每个集合Ek是可测的.定义E上的简单函数φε和ψε为

令x属于E.由于，存在唯一的k（１≤ｋ≤ｎ），使得，因此

但，因此φε和ψε有所要求的逼近性质.
我们添加以下定理到我们已建立的可测函数的刻画中.
简单逼近定理　定义在可测集Ｅ上的扩充实值函数ｆ是可测的当且仅当存在E上的简单函数序列{φn}，它在E上逐点收敛到f且具有性质：

若ｆ是非负的，我们可选取{φn}为递增的.
证明　由于每个简单函数是可测的，命题９告诉我们若一个函数是简单函数序列的逐点极限，则它是可测的.剩下来要证明逆命题.
假设ｆ是可测的.我们也假设在Ｅ上f≥0.一般情形通过将f表示为非负可测函数的差（见习题２３）得到.令ｎ为自然数.定义En={x∈E|f（x）≤ｎ}.则En是可测集而f在En的限制是非负有界可测函数.将简单逼近引理用于f在En的限制，且选取ε=1/n，我们可以选取定义在En上的简单函数φn和ψn，它们具有以下逼近性质：
观察到
若f（x）>n，通过设φn（x）＝ｎ，将φn延拓到整个Ｅ.函数φn是定义在Ｅ上的简单函数且在Ｅ上０≤φn≤ｆ.我们宣称序列{φn}在Ｅ上逐点收敛于ｆ.令ｘ属于Ｅ.
情形１：假设f（x）是有限的.选取一个自然数Ｎ使得f（x）
因此.
情形2：假设f（x）=∞.则对所有n，φn（ｘ）=n，因此.
通过用ｍａｘ{φ1，…，φn}代替每个φn，我们有{φn}是递增的.

习题

12.令ｆ为Ｅ上的有界可测函数.证明存在Ｅ上的简单函数序列{φn}和{ψn}，使得{φn}是递增的而{ψn}是递减的，且这些序列的每个在Ｅ上一致收敛于ｆ.

13.实值可测函数称为半简单的，若它仅取可数个值.令ｆ为Ｅ上的任意可测函数.证明存在E上的半简单函数序列｛fn｝，它在Ｅ上一致收敛于ｆ.

14.令ｆ为Ｅ上的可测函数，其在E上a.e.有限且ｍ（Ｅ）＜∞.证明对每个ε>0，存在包含于E的可测集F，使得f在F上是有界的且m（E~F）<ε.

15.令ｆ为Ｅ上的有界可测函数，其在E上a.e.有限且ｍ（Ｅ）＜∞.证明对每个ε>0，存在包含于E的可测集F和Ｅ上的简单函数序列{φn}使得在F上一致地{φn}→f且m（E~F）<ε.（提示：见前一个习题.）

16.令I为闭有界区间而E是I的可测子集.令ε>0.证明存在I上的阶梯函数ｈ和I的可测子集F，使得（提示：用第2章的定理12.）

17.令I为闭有界区间而ψ是定义在Ｉ上的简单函数.令ε>0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集F，使得在F上，　h=ψ且m（I~F）<ε（提示：用简单函数是特征函数的线性组合的事实以及前一个习题.）

18.令I为闭有界区间而f是定义在I上的有界可测函数.令ε>0.证明存在I上的阶梯函数h和I的可测子集Ｆ，使得

19.证明如同max与min，两个简单函数的和与积是简单的.

20.令A和B为任意集.证明

21.对于具有共同定义域的可测函数序列｛fn｝，证明以下函数都是可测的：

22.（Dini定理）令｛fn｝为［ａ，ｂ］上的连续函数的递增序列，它在［ａ，ｂ］上逐点收敛于［ａ，ｂ］上的连续函数f.证明该收敛在［ａ，ｂ］上是一致的.（提示：令ε>0.对每个自然数n，定义En={x∈［ａ，ｂ］f（x）-fn（x）<ε}.证明{En}是［ａ，ｂ］的开覆盖并用Heine-Borel定理.）

23.将可测函数表示为非负可测函数的差，进而基于非负可测函数的特殊情形证明一般的简单逼近定理.

24.令I为区间而f：I→R是递增的.通过首先证明对每个自然数n严格递增的函数xf（x）+x/n是可测的，接着取逐点极限，证明f是可测的.

3.3　Littlewood的三个原理、Egoroff定理以及Lusin定理

谈到一元实变量的函数论，J.E.Littlewood说：“所要求的知识范围不像有时料想的那么多.有三个原理，大致可用术语表述如下：每个可测集接近于区间的有限并，每个可测函数接近于连续函数；每个逐点收敛的可测函数序列接近于一致收敛的函数序列.实变函数论中的大部分结果是这些思想相当直观的应用.学生们掌握了这些等于掌握了大多数情况下实变函数理论所要求的(知识).若其中一个原理是解决一个十分真实的问题的明显的方法，那么自然要问这个‘接近’是否足够，而实际上对于一个可以解决的问题，这个‘接近’一般是足够的.”
第2章的定理12是Littlewood第一原理的精确阐述：它告诉我们给定有限测度的可测集Ｅ，则对每个ε>0，存在开区间的有限不交族，其并集U在的意义下“接近等于”E.
Littlewood的最后原理的精确实现是以下令人惊讶的定理.
Egoroff定理　假设E具有有限测度.令｛fn｝为Ｅ上的逐点收敛于实值函数f的可测函数序列.则对每个ε>0，存在包含于E的闭集F，使得在F上
为证Egoroff定理，首先建立以下引理是方便的.
引理10　在Egoroff定理的假设下，对每个η＞０和δ>0，存在Ｅ的可测子集Ａ和指标N，使得对所有ｎ≥Ｎ和ｍ（Ｅ～Ａ）＜δ，在Ａ上|fn-ｆ|＜η.
证明　对每个k，函数|f-fk|是恰当定义的，这是由于ｆ是实值的，它是可测的，所以集合{x∈E|f（x）-fk（x）<η}是可测的.可测集的可数族的交集是可测的.因此
是一个可测集.则是上升的可测集族，且，这是由于{fn｝在Ｅ上逐点收敛于f.我们从测度的连续性推出
由于m（E）<∞，我们可以选取指标Ｎ使得m（EN）>m(E)-δ.定义A=EN且观察到，根据测度的分割性质，m（E~A）=m（E）-m（EN）<δ.
Ｅｇｏｒｏｆｆ定理的证明　对每个自然数n，令An为Ｅ的可测子集而Ｎ（ｎ）是满足前一个引理结论的指标，其中，即
与
定义
根据De Morgan等式、测度的可数次可加性以及式（２），
我们宣称｛fn｝在Ａ上一致收敛于f.事实上，令ε>0.选取指标n0使得1/n0<ε.则由（3），
然而，，因此
因此在Ａ上｛fn｝一致收敛于f且m（E~A）<ε／２.
最后，根据第2章的定理11，我们可以选取包含于A的闭子集F，使得m（A~F）<ε/2.因此m（A~F）<ε且在F上一致地｛fn｝→f.
若收敛是a.e.逐点的且极限函数是a.e.有限的，显然Egoroff定理也成立.
我们现在在可测函数是简单的情形下给出Littlewood第二原理的精确版本，接着用这个特殊的情形去证明该原理的一般情形——Lusin定理.
命题11　令ｆ为定义在Ｅ上的简单函数.则对每个ε>0，存在Ｒ上的连续函数g和一个包含于Ｅ的闭集F，使得
证明　令a1，a2，…，an为ｆ取的有限个不同的值，并且令它们分别在集合E1，E2，…，En上被取到.由于这些ak是不同的，族是不交的.根据第2章的定理11，我们可以选取闭集F1，F2，…，Fn使得对每个指标k（1≤k≤n），
则作为闭集的有限族的并集是闭的.由于{Ek}nk=1是不交的，
在F上定义g为在Fk上取值ak的函数，1≤k≤n.由于族{Fk}nk=1是不交的，g是恰当定义的.此外，g在F上是连续的，这是由于对点x∈Fi，存在包含x的开区间，它与闭集不交，因而函数g在该区间与F的交集上是常数.但g可从闭集F上的连续函数延拓为整个R上的连续函数（见习题25）.R上的连续函数g有我们所要的逼近性质.
Lusin定理　令f为定义在E上的实值可测函数.则对每个ε>0，存在R上的连续函数g和一个包含于Ｅ的闭集Ｆ，使得

证明　我们考虑m(E)<∞的情形，而将推广到m(E)=∞作为练习.根据简单逼近定理，存在定义在E上的简单函数序列｛fn｝在E上逐点收敛于ｆ.令ｎ为自然数.根据前一个命题，其中用fn代替f且用ε/2n+1代替ε，我们可以选取R上的连续函数gn和包含于E的闭集Fn，使得
根据Egoroff定理，存在包含于E的闭集F0使得｛fn｝在F0上一致收敛到f且m（E~F0）<ε/2.定义.根据De Morgan等式和测度的可数次可加性，观察到
由于集合Ｆ是闭集的交，它是闭的.由于且在Fn上fn=gn，每个fn在Ｆ上是连续的.最后，由于，｛fn｝在Ｆ上一致地收敛于ｆ.然而，连续函数的一致极限是连续的，因此f在F上的限制是连续的.最后，存在定义在整个R上的连续函数g，它在F上的限制等于f（见习题25）.函数g有我们所要的逼近性质.

习题

25.假定f是在实数的闭集F上连续的函数.证明ｆ有到整个R的连续延拓.这是即将介绍的Tietze延拓定理的特殊情形.（提示：将R~F表示为开区间的可数不交族的并集，且定义ｆ在这些区间的每个的闭包上是线性的.）

26.对于Lusin定理叙述中的函数ｆ和集合Ｆ，证明f在F上的限制是连续函数.是否一定存在一些点，当考虑f为E上的函数时，它在这些点是连续的？

27.证明：若去掉定义域具有有限测度的假设，Egoroff定理的结论可能不成立.

28.证明：若收敛是a.e.逐点的而f是a.e.有限的，Egoroff定理仍然成立.

29.证明Lusin定理可推广到E具有无穷测度的情形.

30.证明Lusin定理可推广到f不必是实值，但是可以为a.e.有限的情形.

31.令｛fn｝为Ｅ上的可测函数序列，它在Ｅ上逐点收敛于实值函数ｆ.证明，其中对每个指标ｋ，Ek是可测的，且若ｋ＞１，在每个Ek上｛fn｝一致收敛于ｆ，且m（E1）=0.