我竟然可以独立做出远古ARC的压轴题。我记得上一次做四题 ARC D 还是一道Hall定理+扫描线的神题。
分析：
首先你发现，假设我们已经处理完了前 \(i\) 个询问，则必须有一个棋子在 \(q_{i}\) 的位置。所以我们只关注另外一个棋子的位置，设 \(f_{i,j}\) 是前 \(i\) 轮，另外一个棋子在 \(j\) 位置的最小答案，我们考虑 \(f\) 的转移：
-
移动在 \(q_i\) 位置上的棋子：\(f_{i+1,j}=f_{i,j}+|q_{i+1}-q_{i}|\)。
-
移动在 \(j\) 位置上的棋子：\(f_{i+1,q_i}=\min\{f_{i,j}+|q_{i+1}-j|\}\)。
考虑特殊考虑初始位置，或者说，考虑前 \(i\) 轮仅动了第一个或者第二个棋子的情况。我们设 \(pre_1(i)\) 是仅移动第一个棋子完成前 \(i\) 个要求的答案，\(pre_2(i)\) 是第二个。那么有：
-
\(f_{i+1,q_i}=pre_1(i)+|q_{i+1}-b|\)。
-
\(f_{i+1,q_i}=pre_2(i)+|q_{i+1}-a|\)。
最后答案应为 \(\min\{f(Q,i)\}\)，然后和 \(pre_1(Q)\) 和 \(pre_2(Q)\) 取 \(\min\)。
现在这个东西是 \(O(nQ)\) 的，考虑线段树优化 DP：
对于第一种操作是一个区间加的过程。
第二种操作我们对绝对值分讨，则要求区间里 \(f_{i,j}-j\) 和 \(f_{i,j}+j\) 的最小值，可以结合操作 \(1\) 直接维护。
后面的所有操作都是单点修改，可以每次暴力 \(O(\log n)\) 找点去修改，不影响上面的懒标记过程。
所以总复杂度为 \(O(n\log n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define op(x) ((x&1)?x+1:x-1)
#define odd(x) (x&1)
#define even(x) (!odd(x))
#define lc(x) (x<<1)
#define rc(x) (lc(x)|1)
#define lowbit(x) (x&-x)
#define Max(a,b) (a>b?a:b)
#define Min(a,b) (a<b?a:b)
#define next Cry_For_theMoon
#define il inline
#define pb(x) push_back(x)
#define is(x) insert(x)
#define sit set<int>::iterator
#define mapit map<int,int>::iterator
#define pi pair<int,int>
#define ppi pair<int,pi>
#define pp pair<pi,pi>
#define fr first
#define se second
#define vit vector<int>::iterator
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef unsigned int uint;
typedef double db;
using namespace std;
const ll MAXN=2e5+10,INF=1e15;
ll n,q,a,b,pos[MAXN],ans=INF;
ll pre[2][MAXN];
struct SegmenTree{
ll val[MAXN<<2],tag[MAXN<<2];
ll minn1[MAXN<<2],minn2[MAXN<<2];
void pushup(int x){
minn1[x]=min(minn1[lc(x)],minn1[rc(x)]);
minn2[x]=min(minn2[lc(x)],minn2[rc(x)]);
}
void pushdown(int x,int l,int r){
int mid=(l+r)>>1;
if(l==mid){val[lc(x)]+=tag[x];}
if(mid+1==r){val[rc(x)]+=tag[x];}
minn1[lc(x)]+=tag[x];minn2[lc(x)]+=tag[x];
minn1[rc(x)]+=tag[x];minn2[rc(x)]+=tag[x];
tag[lc(x)]+=tag[x];tag[rc(x)]+=tag[x];tag[x]=0;
}
void build(int x,int l,int r){
if(l==r){
val[x]=INF;
minn1[x]=minn2[x]=INF;
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(lc(x),l,mid);build(rc(x),mid+1,r);
pushup(x);
}
void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,ll val1){
if(ql<=l && qr>=r){
if(l==r){val[x]+=val1;}
minn1[x]+=val1;minn2[x]+=val1;
tag[x]+=val1;
return;
}
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid)update(lc(x),l,mid,ql,qr,val1);
if(qr>mid)update(rc(x),mid+1,r,ql,qr,val1);
pushup(x);
}
void modify(int x,int l,int r,int pos,ll num){
if(l==r){
val[x]=min(val[x],num);
minn1[x]=val[x]-l;
minn2[x]=val[x]+l;
return;
}
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid)modify(lc(x),l,mid,pos,num);
else modify(rc(x),mid+1,r,pos,num);
pushup(x);
}
ll query(int x,int l,int r,int pos){
if(l==r)return val[x];
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
ll ans;
if(pos<=mid)ans=query(lc(x),l,mid,pos);
else ans=query(rc(x),mid+1,r,pos);
pushup(x);return ans;
}
ll query1(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l && qr>=r)return minn1[x];
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1;ll ret=INF;
if(ql<=mid)ret=min(ret,query1(lc(x),l,mid,ql,qr));
if(qr>mid)ret=min(ret,query1(rc(x),mid+1,r,ql,qr));
return ret;
}
ll query2(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l && qr>=r)return minn2[x];
pushdown(x,l,r);
int mid=(l+r)>>1;ll ret=INF;
if(ql<=mid)ret=min(ret,query2(lc(x),l,mid,ql,qr));
if(qr>mid)ret=min(ret,query2(rc(x),mid+1,r,ql,qr));
return ret;
}
}tree;
int main(){
cin>>n>>q>>a>>b;
rep(i,1,q){
cin>>pos[i];
}
rep(i,1,q){
if(i==1){
pre[0][i]=abs(a-pos[1]);
pre[1][i]=abs(b-pos[1]);
}else{
pre[0][i]=pre[0][i-1]+abs(pos[i-1]-pos[i]);
pre[1][i]=pre[1][i-1]+abs(pos[i-1]-pos[i]);
}
}
tree.build(1,1,n);
rep(i,2,q){
ll tmp=INF;
tmp=min(tmp,pos[i]+tree.query1(1,1,n,1,pos[i]));
if(pos[i]!=n){
tmp=min(tmp,tree.query2(1,1,n,pos[i]+1,n)-pos[i]);
}
tree.update(1,1,n,1,n,abs(pos[i]-pos[i-1]));
tree.modify(1,1,n,pos[i-1],tmp);
tree.modify(1,1,n,pos[i-1],pre[0][i-1]+abs(pos[i]-b));
tree.modify(1,1,n,pos[i-1],pre[1][i-1]+abs(pos[i]-a));
}
ans=min(ans,pre[0][q]);
ans=min(ans,pre[1][q]);
rep(i,1,n){
ans=min(ans,tree.query(1,1,n,i));
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}