题目描述

题意：s个系统n种bug，每天找出一个bug，种类的概率是1/n，系统的概率是1/s。问：每个系统至少找出一个bug；每种类的bug都被找出。的期望天数（0<n, s<=1000）、

题解

这道题目一共有两个维度，bug个系统，这了对应了两个状态。

我们设$f[i][j]$f[i][j]为i个bug，s个系统，还需要期望的步数。我们要采用逆推。（逆推的原因就在于状态0也在考虑范围内，往前访问会造成下标越界）。

一共分为如下情况：

• bug不出现，系统出现。对应了$f[i][j+1],p=\frac{i\times (s-j)}{s\times n}$f[i][j+1],p=s×ni×(s−j)​
• bug出现，系统不出现。对应了$f[i+1][j],p=\frac{(n-i)\times j}{s\times n}$f[i+1][j],p=s×n(n−i)×j​
• bug出现，系统出现。对应了$f[i+1][j+1],p=\frac{(n-i)\times (s-j)}{s\times n}$f[i+1][j+1],p=s×n(n−i)×(s−j)​
• bug不出现，系统不出现。对应了$f[i][j],p=\frac{i\times j}{s\times n}$f[i][j],p=s×ni×j​

可以很容易得到状态转移方程：
$f[i][j]=f[i][j+1]\times \frac{i\times (s-j)}{s\times n}+f[i+1][j]\times \frac{(n-i)\times j}{s\times n}\\+f[i+1][j+1]\times \frac{(n-i)\times (s-j)}{s\times n}+f[i][j]\times \frac{i\times j}{s\times n}+1$f[i][j]=f[i][j+1]×s×ni×(s−j)​+f[i+1][j]×s×n(n−i)×j​+f[i+1][j+1]×s×n(n−i)×(s−j)​+f[i][j]×s×ni×j​+1

然后移项一下就可以辣~

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

int n, s;
double f[3000][3000];

int main(void)
{
	cin>>n>>s;
	f[n][s] = 0;
	for (int i=n;i>=0;--i)
	    for (int j=s;j>=0;--j) 
			if (i != n || j != s) {
	    	double val1 = 1.0 * f[i+1][j] * (n-i) * j / s / n;
	    	double val2 = 1.0 * f[i][j+1] * i * (s-j) / s / n;
	    	double val3 = 1.0 * f[i+1][j+1] * (n-i) * (s-j) / s / n;
	    	double val4 = 1.0 - 1.0 * i * j / s / n;
	    	f[i][j] = 1.0*(val1+val2+val3+1)/val4;
	    }
	printf("%.4f\n", f[0][0]); 
	return 0;
}