【数论·错位排列】bzoj4517 排列计数

2021-08-09 19:42:51

4517: [Sdoi2016]排列计数

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

HINT

Source

鸣谢Menci上传

题解

错位排列个数f[i]=(f[i-1]+f[i-2])*(i-1)

证明：

假设1位于k上，则k有可能在1上

此时方案数为f[i-1]*(i-1)

或者k不在i上，但k不会出现在k上，相当于对i-2错排

所以方案数为f[i-2]*(i-1)

所以总方案数为 f[i]=(f[i-1]+f[i-2])*(i-1)

代码

//by 减维

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<cstring>

#include<queue>

#include<cstdlib>

#include<ctime>

#include<cmath>

#include<map>

#include<bitset>

#include<algorithm>

#define ll long long

#define p 1000000007

using namespace std;

int t,n,m;

ll jc[],ny[],f[];

ll ksm(ll x,ll y)

{

    ll a=x,ret=;

    while(y)

    {

        if(y&)ret=(ret*a)%p;

        a=a*a%p;

        y/=;

    }

    return ret;

}

int main()

{

    jc[]=jc[]=;ny[]=;

    for(int i=;i<=;++i)

        jc[i]=(jc[i-]*i)%p,ny[i]=ksm(jc[i],p-);

    f[]=;f[]=;

    for(int i=;i<=;++i)f[i]=(f[i-]+f[i-])%p*(i-)%p;

    scanf("%d",&t);

    while(t--){

        scanf("%d%d",&n,&m);

        printf("%lld\n",jc[n]*ny[m]%p*ny[n-m]%p*f[n-m]%p);

    }

}

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