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蒙特卡洛方法利用随机数从概率分布P(x)中生成样本，并从该分布中评估期望值，该期望值通常很复杂，不能用精确方法评估。在贝叶斯推理中，P（x）通常是定义在一组随机变量上的联合后验分布。然而，从这个分布中获得独立样本并不容易，这取决于取样空间的维度。因此，我们需要借助更复杂的蒙特卡洛方法来帮助简化这个问题；例如，重要性抽样、拒绝抽样、吉布斯抽样和Metropolis Hastings抽样。这些方法通常涉及从建议密度Q(x)中取样，以代替P(x)。

在重要性抽样中，我们从Q(x)中产生样本，并引入权重以考虑从不正确的分布中抽样。然后，我们对我们需要评估的估计器中的每个点的重要性进行调整。在拒绝抽样中，我们从提议分布Q(x)中抽取一个点，并计算出P(x)/Q(x)的比率。然后我们从U(0,1)分布中抽取一个随机数u；如果，我们就接受这个点x，否则就拒绝并回到Q(x)中抽取另一个点。吉布斯抽样是一种从至少两个维度的分布中抽样的方法。这里，提议分布Q(x)是以联合分布P(x)的条件分布来定义的。我们通过从后验条件中迭代抽样来模拟P(x)的后验样本，同时将其他变量设置在其当前值。

虽然，重要性抽样和拒绝抽样需要Q(x)与P(x)相似（在高维问题中很难创建这样的密度），但当条件后验没有已知形式时，吉布斯抽样很难应用。这一假设在更普遍的Metropolis-Hastings算法中可以放宽，在该算法中，候选样本被概率性地接受或拒绝。这种算法可以容纳对称和不对称的提议分布。该算法可以描述如下 

初始化

抽取
计算
从中抽取
如果 设
否则，设置
结束 

吉布斯抽样是Metropolis Hastings的一个特例。它涉及一个总是被接受的提议（总是有一个Metropolis-Hastings比率为1）。

我们应用Metropolis Hastings算法来估计标准G-BLUP模型中回归系数的方差成分。

对于G-BLUP模型。

其中，代表表型的向量和基因型的矩阵。 是标记效应的向量，是模型残差的向量，残差为正态分布，均值为0，方差为和。

考虑到其余参数，的条件后验密度为：

这是一个逆卡方分布。

假设我们需要使的先验尽可能地不具信息性。一种选择是设置，，并使用拒绝抽样来估计；但是，设置S0=0可能会导致算法卡在0处。 因此，我们需要一个可以替代逆卡方分布的先验，并且可以非常灵活。为此，我们建议使用β分布。由于所得到的后验不是一个合适的分布，Metropolis Hastings算法将是获得后验样本的一个好选择。

这里我们把作为我们的提议分布Q。因此。

我们的目标分布是的正态似然与的β先验的乘积。由于β分布的域在0和1之间，我们用变量来代替β先验，其中MAX是一个确保大于的数字，这样。

其中α1和α2是β分布的形状参数，其平均值由给出。

我们按照上面的算法步骤，计算出我们的接受率，如下所示。

然后我们从均匀分布中抽取一个随机数u，如果，则接受样本点，否则我们拒绝该点并保留当前值，再次迭代直至收敛。

Metropolis Hastings 算法

1.   MetropolisHastings=function(p, ...)
2.    
3.   chain[1]=x
4.   for (i in 1:nIter) {
5.   y[i] <-(SS+S0)/rchisq(df=DF,n=1,...)
6.    
7.   logp.old[i]=-(p/2)*log(chai) - (SS/(2*chain) + (shape1-1)*(log(chain[i]/(MAX)))+(shape2-1)*(log(1-(chain[i]/(MAX))
8.    
9.   logp.new[i]=-(p/2)*log(y[i]) - (SS/(2*y[i])) + (shape1-1)*(log(y[i]/(MAX)))+(shape2-1)*(log(1-(y[i]/(MAX))
10.   chain[i+1] = ifelse (runif(1)<AP[i] , y[i], chain[i],...)

吉布斯采样器 

1.   gibbs=function(p,...)
2.   b = rnorm(p,0,sqrt(varb),...)
3.   for (i in 1:Iter) {
4.   chain[i] <-(S+S0)/rchisq(df=DF,n=1,...)

绘制图

1.   plot = function(out1,out2)
2.   plot(density(chain1),xlim=xlim)
3.   lines(density(chain2),xlim=xlim)
4.   abline(v=varb,col="red",lwd=3)
5.    

设置参数 

运行吉布斯采样器

1.   ##################
2.   out1=gibbs(p=sample.small,...)
3.   out2=gibbs(p=sample.large,...)

在不同的情况下运行METROPOLIS HASTINGS

小样本量，先验

out.mh=mh(p=sample.small,nIter=nIter,varb=varb,shape1=shape.flat,shape2=shape.flat, MAX=MAX)

 

样本量小，β值的形状1参数大

1.   p=sample.small
2.   nIter
3.   varb
4.   shape.skew[1]
5.   shape.skew[2]
6.   MAX

plot(out.mh, out.gs_1)

 

样本量小，β值的形状1参数大

MetropolisHastings(p)

makeplot(out.mh, out.gs_1)

1.   ## Summary of chain for MH:
2.   ## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
3.   ## 0.2097 0.2436 0.2524 0.2698 0.2978 0.4658

样本量小，β的形状参数相同（大）

plot(out.mh, out1)

大的样本量，先验

plot(out.mh, out2)

大样本量，形状1参数的β

plot(out.mh, out2)

大样本量，β值的大形状2参数

plot(out.mh, out_2)

大样本量，β的形状参数相同（大）

plot(out.mh, out2)

参考文献

1. Gelman, Andrew, et al. Bayesian data analysis. Vol. 2. London: Chapman & Hall/CRC, 2014.

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