Luogu 2764 最小路径覆盖问题 / Libre 6002 「网络流 24 题」最小路径覆盖 （网络流，最大流）

Description

给定有向图G=(V,E)。设P是G的一个简单路（顶点不相交）的集合。如果V中每个顶点恰好在P的一条路上，则称P是G的一个路径覆盖。P中路径可以从V的任何一个顶点开始，长度也是任意的，特别地，可以为0。G的最小路径覆盖是G的所含路径条数最少的路径覆盖。

设计一个有效算法求一个有向无环图G的最小路径覆盖。

Input

第1行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G的顶点数，m是G的边数。

接下来的m行，每行有2个正整数i 和j，表示一条有向边(i,j)。

Output

第1行开始，每行输出一条（字典序）路径。最后一行是最少路径数。

Sample Input

11 12 1 2 1 3 1 4

2 5

3 6

4 7

5 8

6 9

7 10

8 11

9 11

10 11

Sample Output

1 4 7 10 11

2 5 8

3 6 9

3

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2764

Libre:https://loj.ac/problem/6002

Source

网络流，最大流

解决思路

这题是sdoi2010星际竞速的弱化版，去掉了费用的限制。

对于每一个点u，我们把它拆成两个点u和u+n，分别作为入点和出点。在源点与所有入点之间连一条容量为1的边，在所有的出点与汇点之间也连一条容量为1的边。再对于每一条有向边u->v，我们连接u的入点和v的出点，容量为1.

这样建图的目的是保证任何一个点只进去一次，出来一次，并且每个点至少都要走一次。

至于如何找出路径呢？

假设我们现在选择第u个点出发，则寻找与其相连的所有边中满足相连的点v为出点且残量为0，因为我们保证了一个点只走一次，所以这个点一定是唯一的。然后再以v为出发点寻找，直到找不到为止。需要注意的是，为了防止重复计算，上面我们经过的所有点都要标记一下，后面就不再经过了。

另：这里使用Dinic实现最大流，关于Dinic算法，请移步我的这篇文章

代码

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int maxN=500;

const int maxM=60000;

const int inf=2147483647;

class Edge

{

public:

	int v,flow;

};

int n,m;

int cnt=-1;

int Head[maxN];

int Next[maxM];

Edge E[maxM];

int depth[maxN];

int Q[maxM];

int cur[maxN];

bool vis[maxN];

void Add_Edge(int u,int v,int flow);

bool bfs();

int dfs(int u,int flow);

int main()

{

	memset(Head,-1,sizeof(Head));

	scanf("%d%d",&n,&m);

	for (int i=1;i<=n;i++)

	{

		Add_Edge(0,i,1);//连接源点与入点

		Add_Edge(i+n,2*n+1,1);//连接出点与汇点

	}

	for (int i=1;i<=m;i++)

	{

		int u,v;

		scanf("%d%d",&u,&v);

		Add_Edge(u,v+n,1);//连接u的入点与v的出点

	}

	while (bfs())

	{

		for (int i=0;i<=n*2+1;i++)//当前弧优化

			cur[i]=Head[i];

		while (int di=dfs(0,inf));

	}

	memset(vis,0,sizeof(vis));

	int Ans=0;

	for (int i=1;i<=n;i++)//统计路径

	{

		if (vis[i]==1)

			continue;

		int now=i;

		bool get;

		do

		{

			cout<<now<<" ";

			vis[now]=1;

			get=0;

			for (int i=Head[now];i!=-1;i=Next[i])

				if ((E[i].flow==0)&&(E[i].v>n)&&(E[i].v<=2*n))

				{

					now=E[i].v-n;

					get=1;

					break;

				}

		}

		while (get==1);

		cout<<endl;

		Ans++;

	}

	cout<<Ans<<endl;//输出路径条数

	return 0;

}

void Add_Edge(int u,int v,int flow)//加边

{

	cnt++;

	Next[cnt]=Head[u];

	Head[u]=cnt;

	E[cnt].v=v;

	E[cnt].flow=flow;

	cnt++;

	Next[cnt]=Head[v];

	Head[v]=cnt;

	E[cnt].v=u;

	E[cnt].flow=0;

}

bool bfs()//bfs求层次图

{

	memset(depth,-1,sizeof(depth));

	int t=0,h=1;

	Q[1]=0;

	depth[0]=1;

	do

	{

		t++;

		int u=Q[t];

		for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])

		{

			int v=E[i].v;

			if ((E[i].flow>0)&&(depth[v]==-1))

			{

				depth[v]=depth[u]+1;

				h++;

				Q[h]=v;

			}

		}

	}

	while (h!=t);

	if (depth[n*2+1]==-1)//当汇点不存在层次图中时，说明增广完毕

		return 0;

	return 1;

}

int dfs(int u,int flow)//dfs增广

{

	if (u==n*2+1)

		return flow;

	for (int &i=cur[u];i!=-1;i=Next[i])

	{

		int v=E[i].v;

		if ((depth[v]==depth[u]+1)&&(E[i].flow>0))

		{

			int di=dfs(v,min(flow,E[i].flow));

			if (di>0)

			{

				E[i].flow-=di;

				E[i^1].flow+=di;

				return di;

			}

		}

	}

	return 0;

}