线性筛
思想:每个数有且仅筛一次
解决:每个数只被其最大因子（非本身）筛去
设合数x最小素因子为p,x=pq,易知p<=q
我们让x只被q筛去,选择枚举q
枚举q时,找到所有满足的p,筛去数x,一个不漏
void sieve() {
for(int i=2;i<=m;i++) { //枚举q
if(v[i]==0) {
ps[++cnt]=i; //统计p
}
for(int j=1;j<=cnt;j++) { //枚举满足的p
if(i*ps[j]>m) break;
v[i*ps[j]]=1;
if(i%ps[j]==0) break; //条件判断
}
}
} //统计2到m的质数
上述代码意思是:设q最小素因子为u，q=uv
1.若p<=u(p是质数),则p是x=pq的最小素因子,满足条件,筛去x
2.若p>u,x=pq=puv=u*(pv),p不是x最小素因子,这个数会被pv(大于q)筛去,重复了,可以跳出不再筛x
至此,这个算法的正确性和充分性都被证明了.
(原创)