问题描述

小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。
小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。
你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。
本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入格式

两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

输出格式

一个正整数，表示最大不能买到的糖数

样例输入1
4 7
样例输出1
17
样例输入2
3 5
样例输出2
7

方法一：运用数论知识
对于互质的两个数p，q，px+py 不能表示的最大数为pq-p-q.

证明：（借鉴自大神 看不懂的朋友可以搜百度理解）

先证:pq-p-q不能被px+py表示.

假设pq-p-q可以被px+py表示

那么 px+py=pq-p-q -> q|x+1 p|y+1

很明显x+1>=q

p(x+1)>=pq 矛盾

所以pq-p-q不能被px+py表示.

再证：大于pq-p-q的数一定可以用px+qy表示(x>=0 y>=0)

(p-1)(q-1)=pq-p-q+1

对于n>pq-q-p即n>=(q-1)(p-1)

gcd(p,q)=1

对于z<min{p,q}存在a,b使得ap+bq=z

不妨设a>0>b,显然a>0

那么如果a>q,取a1=a-q,b1=b+p

那么有a1p+b1q=z.

如果a1>q，可以继续以得到

Ap+Bq=z,且0<|A|<q,0<|B|<p

pq-p-q=(p-1)q-q=(q-1)p-p

对于n>pq-q-p

n=pq-q-p+k*min{p,q}+r

r<z<min{p,q}

那么取A,B

Ap+Bq=r,且0<|A|<q,0<|B|<p

不妨设A>0

n=pq-q-p+k*min{p,q}+r

=(q-1)p-p+k*min{p,q}+Ap+Bq

=(A-1)p+(B+q-1)p+k*min{p,q}

其中(A-1),(B+q-1)>=0

那么无论min{p,q}是p还是q，都有

对于n>pq-q-p,都可以表示成px+qy

#include <iostream>
using namespace std;
int main(int argc, char *argv[]) {
	int a,b;
	cin >> a >> b;
	cout << a*b-a-b;
	return 0;
}

方法二就比较接地气了hhh：

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 50000 
int c[N]; 
void check(int a,int b){
	for(int i=0;i<=N/a;i++){ //去掉多余循环，下同；
		for(int j=0;j<=(N-i*a)/b;j++){
			if(i*a + j*b < N) c[i*a + j*b] = 1;
		}
	}
}
int count(int min){
	int time = 0;
	for(int i=0;i<=N;i++){
		if(c[i] == 1) time++;
		else time = 0; 
		//连续a个或者b个数(min取自ab)都可被表示出，则后面的数都能表示了,例如3和5两个数， 8，9，10连续3个数都可被表示，则后面的数就都能表示了，最大值就是10-min = 7；
		if(time == min) return i - time;
	}
	return -1;
	
}
int main(int argc, char *argv[]) {
	int a,b;
	cin >> a >> b;
	int min;
	a < b ? min=a : min=b;//选择小值传入
	check(a,b);	
	cout << count(min);
	return 0;
}