约翰夫环问题

题目简述:n个人围成一圈报数，每报到第m个人出列(持续报数，不重新开始)，分析求解最后一个(第n个)出列的人

用数组的思想理解：

N代表第几个出列的人(N<=n)，每一次出列相当于把数组向前移动m位。第N-1出列的人的位置为f(N−1,M)，则N个出列的人，就是往前移动M位。

用链表的思想理解：

N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点

递归法(近似数组)

该解法实际上是一种编号的变形，环在编号意义上的重构

分析可知，如果关注最后一个出列的是谁，不妨将所有人的编号减去m，递归化处理

程序分析：以m递减的方式是我们认为环没有改变的前提下，事实上环有重构(有人出列)的过程

现在假设n=10 m=3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
第一个人出列后的序列为：
0 1 3 4 5 6 7 8 9
重构环 3 4 5 6 7 8 9 0 1 //这样的话 每次出列即重构环的第三个位置 记住1式

重新编号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 //重新编号 始终出列编号为2(第三个位置) 记住2式

容易发现: ((2式)+3)%10转化为(1式)

从0开始编号是为了方便取模运算,也便于数组化思想的体现

得到答案后需要加1，符合题意的编号

#include <cstdio>
int n,k;
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int person=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)//代表次数(即总人数)，依次出列
	person=(person+m)%i;//由最后的编号倒推至最初的编号
	printf("%d",person+1);
}//本算法可以形象的理解为撤销环的重构的过程，回归原始的编号过程

程序继续优化的思路

i与m增势不同，某一区间取余的效果没有体现，改进解法可以省略重复无效的步骤，加快撤销重构的过程

相当于分析 person每次加m，i 每次加1，问多少次之后person≥i 追击问题

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int i=1,person=0,p;
	while(i<n){
p=(i-person)/(m-1)+((i-person)%(m-1)!=0);//距离除以相对速度得到时间 不整除的情况需要+1
		if(i+p>n) p=n-i;//要判断是否大于n
		person+=p*m;
		i+=p;
		person%=i;
	}
	printf("%d",person+1);
}
//该算法在理解上稍复杂 但数据足够大时 执行更快

链表法

删除结点的思想

 #include<stdlib.h> 
 typedef struct Node{
  int data;
  struct Node *next;
 }Node , *LinkList; 

 void CreateLinkList_Head(LinkList &L,int n){
  L=(LinkList)malloc(sizeof(Node));
  L->data=1;
  L->next=L;
  LinkList s;
  for(int i=0;i<n-1;i++){
   s=(LinkList)malloc(sizeof(Node));
   s->data=n-i;
   s->next=L->next;
   L->next=s;
    }
 }//创建链表 n为参加游戏总人数

 void Print_L(LinkList L)
 {
  LinkList p;
  p=L;
  do
  {
   printf("%d",p->data);
   p=p->next;
  }
  while(p!=L);
  printf("\n");
 } //单链表遍历输出函数

 void ListDelete(LinkList &L,int i,int a){
  int e;
  LinkList p=L,s;
  printf("出列编号依次为：\n");
  for(int i=0;i<a;i++){
   int j=1;
   while((j+1)!=i)
   {
    j++;
    p=p->next;
   }
   s=p->next;
   e=s->data;
   p->next=s->next; 
   free(s);
   p=p->next;
   printf("%d",e);
  }
 } //i为第几个报数的人被淘汰  a为淘汰多少人 

 #include <iostream>
 #include "Node.h"
 using namespace std;
 int main() 
 {
  LinkList pn;
  int n,m,c;
  scanf("%d %d",&n,&m); //c为最后保留多少人 本题应输入的是1
  scanf("%d",&c);
  CreateLinkList_Head(pn,n);
  Print_L(pn);
  ListDelete(pn,m,n-c);
  Print_L(pn);
  return 0;
 }