1.引言
以前我们讨论的概率模型都是只含观测变量(observable variable), 即这些变量都是可以观测出来的，那么给定数据，可以直接使用极大似然估计的方法或者贝叶斯估计的方法；但是当模型含有隐变量(latent variable)的时候, 就不能简单地使用这些估计方法。
如在高斯混合和EM算法中讨论的高斯混合就是典型的含有隐变量的例子，已经给出EM算法在高斯混合模型中的运用，下面我们来讨论一些原理性的东西。
2.Jensen 不等式
令是值域为实数的函数，那么如果
，则
就是一个凸函数，如果自变量 x 是向量, 那么当函数的海森矩阵
是半正定时(
),
是凸函数，这是函数为凸函数的条件在向量输入时的泛化。
如果，则称
是严格凸函数，对应的向量输入时的泛化是
.
定理 令
是一个凸函数，令
是一个随机变量，那么
当时严格凸函数的时，当且仅当
以概率 1 成立的时，
. 即当
时常量时，上面不等式的等号成立。
注意上面 E 是表示期望的意思，习惯上，在写变量期望的时候，会把紧跟括号略去，即.
用下面的图对上面的定理作一个解释：
这个图中的实线代表凸函数, 随机变量
有 0.5 的概率取 a, 同样以 0.5 的概率取 b, 所以
的期望位于a,b的正中间，即a,b的均值.
从图中可以看出，在 y 轴上, 位于
之间，因为
是凸函数，则必如上图所示，
所以很多情况下，许多人并去记忆这个不等式，而是记住上面的图，这样更容易理解。
注意：如果是（严格）凹函数，即
使（严格）凸函数（即，
），那么Jensen不等式照样成立，只不过不等号方向相反：
3.EM算法
假设在一个估计问题中有m个独立样本，根据这些数据，希望拟合出模型
的参数，那么对数似然函数：
这里，是隐变量，如果
能够被观测出来，最大似然估计就会变得很容易，但是现在
观测不出来，是隐变量。
在这种情况下，EM算法给出了一种很有效的最大似然估计的方法：重复地构造的下界（E步），然后最大化这个下界（M步）。
对于每个，令
表示隐变量
的分布，即
，考虑：
由（2）到（3）的推导用到了上面的Jensen不等式，此时是一个凹函数，因为
，考虑上面关于
的分布
，
正好是数量的期望，由Jensen不等式可以得到：
由此可以从（2）推出（3）.
但是由于隐变量的存在，直接最大化很困难！试想如果能让
直接与它的下界相等，那么任何可以使
的下界增大的
，也可以使
增大，所以自然就是选择出使
的下界达到极大的参数
.
怎么样才能使得取得下界呢，即上面不等式取等号，关键在于隐变量
如何处理，下面就此讨论。
现在，对于任意的分布，（3）给出了似然函数
的下界. 对于分布
到底是什么分布，可以有很多种选择，到底该选择哪一种呢？
在上面讨论Jensen不等式的时候可以看出，不等式中等号成立的条件是随机变量变成“常量”，对于要想取得下界值，必须要求
其中常数 c 与变量 无关，这很容易做到，我们选择分布
的时候，满足下面的条件即可：
由于，于是我们可以知道：
注意理解上面这个等式式子是如何得出来的！！
于是就可以把分布设定为：在参数
下，给定
后，
的后验分布。
这样设定好隐变量的分布之后，
就直接取其下界，原来最大化似然函数
的问题转换为最大化其下界，这就是E步！
在M步中，就是去调整参数最大化上面提到的式子（3）.
不断重复E步和M步就是EM算法：
重复迭代直至收敛{
}
我们如何知道算法收敛呢？
假如和
是两次连续迭代后的参数,需要证明
.
正如上面所述，由于我们再选择分布时，选择：
，于是：
参数就是通过极大化上面右边的式子得出，因此：
注意第不等式（4）来自于：
这个式子对于任意的和
都成立，当然对于
和
也成立。对于不等式（5），因为
是通过如下极大化过程选出来的：
所以在处，式子的值要比在
处式子的值要大！
式子（6）是通过上面讨论过的方法选择出合适的使得Jensen不等式取等号！
因此，EM算法使得似然函数单调收敛。在上面描述EM算法的时候，说是“重复迭代直至收敛”，一个常用的检查收敛的方法是：如果两次连续迭代之后，似然函数的值变化很小（在某个可容忍的范围内），就EM算法中
的变化已经很慢，可以停止迭代了。
注意：如果定义：
从之前的推导，我们知道. EM算法看作是关于函数 J 的梯度上升：E步是关于参数Q，M步是关于参数
.
4.高斯混合的修正
在 高斯混合和EM算法 中，我们将EM算法用于优化求解高斯混合模型，拟合参数和
.
E步：
这里表示的是在分布
下，
取
的概率。
M步：考虑参数，最大化数值：
最大化求，对上面的式子关于
求偏导数：
令这个偏导数为0，求出的更新方式：
这是在 高斯混合和EM算法 中已经得出的结论。
再考虑如何更新参数,把只与
有关的项写出来，发现只需要最大化：
因为，，所有
的和为1，所以这是一个约束优化问题，参考简易解说拉格朗日对偶（Lagrange duality），构造拉格朗日函数：
其中 β 是拉格朗日乘子. 求偏导数：
令偏导数为0，得到：
即：利用约束条件：
，得到：
(注意这里用到：
).
于是可以得到参数的更新规则：
关于参数的更新规则，以及整个EM算法如何运用到高斯混合模型的优化，请参考：高斯混合和EM算法！
5.总结
所谓EM算法就是在含有隐变量的时候，把隐变量的分布设定为一个以观测变量为前提条件的后验分布，使得参数的似然函数与其下界相等，通过极大化这个下界来极大化似然函数，从避免直接极大化似然函数过程中因为隐变量未知而带来的困难！EM算法主要是两步,E步选择出合适的隐变量分布（一个以观测变量为前提条件的后验分布），使得参数的似然函数与其下界相等；M步：极大化似然函数的下界，拟合出参数.