前言

高中阶段有关分段函数的问题，学生很容易出错，一类是分段函数和复合函数的融合，一类是分段函数方程或分段函数不等式问题，有些学生总是想不通其解法，特作以总结整理。

案例列举1

已知\(f(x)=\begin{cases}2e^{x-1}，&x<2\\log_3\;(x^2-1)，&x\ge 2\end{cases}\)，求 \(f(x+1)\)的表达式；

分析：由题目可知，已知 \(f(x)\) 的解析式，求 \(f(x+1)\)的解析式，其实质是用 \(x+1\) 替换 \(x\) 而得到，故

\(f(x+1)=\begin{cases}2e^{(x+1)-1}，&x+1<2\\log_3\;((x+1)^2-1)，&x+1\ge 2\end{cases}\)，

即得到解析式如下，[注意：学生容易在分段函数的定义域处出错]

\[f(x+1)=\begin{cases}2e^{x}，&x<1\\log_3\;((x+1)^2-1)，&x\geqslant 1\end{cases} \]

同理同法，我们可以求解 \(f(x-1)\)，\(f(2x+3)\)等等。

案例列举2

求解这样的问题，设函数\(f(x)=\begin{cases}2e^{x-1}，&x<2\\log_3\;(x^2-1)，&x\ge 2\end{cases}\)，则方程\(f(x)=2\)的解集是_______. 我们该如何思考呢？

思维提升

我看不妨用减法这样想，将分段函数的段数减少到一段，就得到了这样的问题，如下所示，

已知 \(f(x)=2x^2-3x+1\)，求 \(f(x)=2\)的解集，

很显然，我们会想到对 \(f(x)\) 做替换，得到 \(2x^2-3x+1=2\)，接下来就是求解常规的二次方程问题。

然后，我们再做加法，当求解分段函数方程时，由于所分的段数为两段[其他两段以上的情形可以据此分析求解]，也要替换，不同的是必须带有前提条件，或解析式对应的定义域。

典例剖析

【2017\(\cdot\)凤翔中学高三文科第二次月考第16题改编】设函数\(f(x)=\begin{cases}2e^{x-1}，&x<2\\log_3\;(x^2-1)，&x\ge 2\end{cases}\)，则方程\(f(x)=2\)的解集是______________.

解析：原方程应该等价于以下的方程组：

\(\begin{cases}x<2\\2e^{x-1}=2\end{cases}\)或者\(\begin{cases}x\ge2\\log_3\;(x^2-1)=2\end{cases}\)，

分别解得\(x=1\)或\(x=\sqrt{10}\)，

故方程的解集为\(\{1，\sqrt{10}\}\)。

由于相等关系和不等关系是并列平行的关系，故求解分段函数不等式，我们就需要将对应的等号变化为不等号即可完成相应的转化。

【2017\(\cdot\)凤翔中学高三文科第二次月考第16题】设函数\(f(x)=\begin{cases}2e^{x-1}，&x<2\\log_3\;(x^2-1)，&x\ge 2\end{cases}\)，则不等式\(f(x)>2\)的解集是______________.

分析：原不等式等价于以下两个不等式组\(\begin{cases}x<2\\2e^{x-1}>2\end{cases}\)或者\(\begin{cases}x\ge2\\log_3\;(x^2-1)>2\end{cases}\)，

分别解得\(1<x<2\)或\(x>\sqrt{10}\)，

故解集为\((1，2)\cup(\sqrt{10}，+\infty)\)。