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本笔记学习自 宾大的课程。
基础概念和定义
由于细胞外正离子和细胞内负离子的存在，细胞膜的两侧形成了离子浓度差，可以假设神经元是一个电容 Q Q Q。
对于电容
Q
Q
Q:
Q
=
C
m
V
(1)
Q = C_mV \tag{1}
Q=CmV(1)
Q
Q
Q是电容存储电荷的总量
C
m
C_m
Cm是膜上的电容
V
V
V是膜上的电压
对于膜上电容
C
m
C_m
Cm：
C
m
=
c
m
A
(2)
C_m = c_mA\tag{2}
Cm=cmA(2)
c
m
c_m
cm是单位电容
A
A
A是膜的面积
对于膜的电阻 R m R_m Rm：
R m = r m A (3) R_m =\frac{ r_m }{A} \tag{3} Rm=Arm(3)
r
m
r_m
rm是单位电阻
A
A
A是膜的面积
前提：
离子从高浓度往低浓度流。
膜上电流由离子流动产生。
假设：
V
V
V越大，正离子越不进入膜内。
对于膜上电流 I m I_m Im：
I m = E − V R m (4) I_m = \frac{E-V}{R_m} \tag{4} Im=RmE−V(4)
离子不流动时的电压
E
E
E（平衡电势）
膜上电压
V
V
V
V
−
E
>
0
V-E>0
V−E>0，正离子从膜内往膜外流。
V
−
E
<
0
V-E<0
V−E<0，正离子从膜外往膜内流。
细胞外部注入神经元的电流 I e I_e Ie:
I e = V e R m (5) I_e=\frac{V_e}{R_m}\tag{5} Ie=RmVe(5)
细胞外部注入神经元的电压 V e V_e Ve
神经元模型
以电容的变化建立模型。
前提：
I
=
d
Q
d
t
I = \frac{dQ}{dt}
I=dtdQ,
Q
=
C
m
V
(
t
)
Q = C_mV(t)
Q=CmV(t)
假设:
电流由膜电流
I
m
I_m
Im和外部电流
I
e
I_e
Ie组成。
I m + I e = d Q d t = C m d V d t (6) I_m + I_e= \frac{dQ}{dt} = C_m\frac{dV}{dt}\tag{6} Im+Ie=dtdQ=CmdtdV(6)
由公式 ( 4 ) ( 5 ) (4)(5) (4)(5)带入公式 ( 6 ) (6) (6)得到：
( E − V ) R m + V e R m = C m d V d t \frac{(E-V)}{R_m}+\frac{V_e}{R_m} = C_m\frac{dV}{dt} Rm(E−V)+RmVe=CmdtdV
( E − V ) + R m I e = T m d V d t (7) (E-V) + R_mI_e =T_m\frac{dV}{dt} \tag{7} (E−V)+RmIe=TmdtdV(7)
C m R m = T m C_mR_m=T_m CmRm=Tm, T m T_m Tm是一个常数。
此时，已经得到神经元的微分方程
求解 V(t)
特殊情况
当时间趋向无穷大时，电压不再发生变化
d
V
d
t
=
0
\frac{dV}{dt} = 0
dtdV=0
则公式
(
6
)
(6)
(6)可以变成：
V
∞
=
R
m
I
e
+
E
(8)
V_∞ = R_mI_e+E\tag{8}
V∞=RmIe+E(8)
V ∞ V_∞ V∞是时间趋向无穷大时，膜的电压。
由公式
(
6
)
(6)
(6)可知，
只需要对V解微分方程可以得到V(t)
假设
电压是随时间变化的变量
V
(
t
)
V(t)
V(t)
V
(
t
)
=
V
∞
+
f
(
t
)
(9)
V(t) = V_∞ + f(t) \tag{9}
V(t)=V∞+f(t)(9)
带入公式
(
6
)
(6)
(6)得：
T
m
d
f
(
t
)
d
t
=
R
m
I
e
+
E
−
V
−
f
(
t
)
(10)
T_m\frac{df(t)}{dt} = R_mI_e+E-V - f(t) \tag{10}
Tmdtdf(t)=RmIe+E−V−f(t)(10)
积分得到：
f
(
t
)
=
f
(
0
)
e
−
t
T
m
(11)
f(t) = f(0)e^{-\frac{t}{T_m}}\tag{11}
f(t)=f(0)e−Tmt(11)
假设电压变化体现在
f
(
t
)
f(t)
f(t)，则有：
f
(
0
)
=
V
(
0
)
−
V
∞
(12)
f(0) = V(0) - V_∞\tag{12}
f(0)=V(0)−V∞(12)
由
(
10
)
(
11
)
(10)(11)
(10)(11)代入(8)可得：
V
(
t
)
=
V
∞
+
f
(
t
)
=
V
∞
+
(
V
(
0
)
−
V
∞
)
e
−
t
T
m
(13)
V(t) = V_∞ + f(t) = V_∞ +(V(0) - V_∞)e^{-\frac{t}{T_m}}\tag{13}
V(t)=V∞+f(t)=V∞+(V(0)−V∞)e−Tmt(13)
显然，
当t=0，有
V
(
t
)
=
0
V(t) = 0
V(t)=0
当t趋近于∞，有
V
(
t
)
=
V
∞
V(t) = V_∞
V(t)=V∞