从傅里叶级数到傅里叶变换
写在开头的话
感谢B站的一个视频，让我有想要写这篇博客的想法。https://www.bilibili.com/video/BV1Et411R78v
网上的傅里叶变换内容大多分为两个部分：一类是考研类视频，这些视频偏向于解题，讲的多是一些解题方法，但是学完之后大多数人只知道套公式，所谓知其然而不知其所以然；另一类是科普视频，他们一个很严重的缺点就是忽略了公式，而在一个较为宏观的层面上讲解知识，这样固然达到了科普的效果，但对于深入理解傅里叶变换却略显不足。
我希望用纯粹数学的方法解释傅里叶变换。
傅里叶级数
通过高数的学习，我们知道任何周期函数都可以表示为无穷多个三角函数的和。假设有一个周期函数\(f_T(x)\)
\[f_T(x) = f(x + T) \] 它的傅里叶级数是
\[f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_ncos(nx) + b_nsin(nx)] \] 我们将它转换成更一般的，关于时间\(t\)的形式
\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_ncos(n\omega t) + b_nsin(n\omega t)] \] 其中
\[a_n= \frac{1}{T}\int^T_{-T}f(t)cos(n\omega t)dt~~~~~~~~~~~~~~~~(n\in\mathrm{N})\\ b_n= \frac{1}{T}\int^T_{-T}f(t)sin(n\omega t)dt~~~~~~~~~~~~~~~~(n\in\mathrm{N^*}) \]傅里叶变换
很好，我们已经学会了由一个周期函数\(f(x)\)转换成傅里叶级数的一般套路，具体推导规则见高等数学（下）。接下来我们来进行一系列一个从傅里叶级数到傅里叶变换的推导。
我们知道欧拉公式和三角函数之间有一个转化
\[cos(\theta) = \frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta}) \] \[sin(\theta) = \frac{1}{2}i(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) \] 带入到上面的傅里叶变换中，我们得到
\[\begin{align*} f(t) &=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_ncos(n\omega t) + b_nsin(n\omega t)]\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum^{\infty}_{n=1}[a_n\frac{1}{2}(e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}) + b_n\frac{1}{2}i(e^{in\omega t}-e^{-in\omega t})]\\ &= \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}[\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \frac{a_n + ib_n}{2}e^{-in\omega t}]\\ &= \frac{a_0}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \sum^{-\infty}_{n=-1}\frac{a_n + ib_n}{2}e^{in\omega t}\\ &= \sum^{0}_{0}\frac{a_0}{2}e^{in\omega t}+\sum^{\infty}_{n=1}\frac{a_n-ib_n}{2}e^{in\omega t} + \sum^{-\infty}_{n=-1}\frac{a_n + ib_n}{2}e^{in\omega t}\\ &=\sum^{\infty}_{-\infty}C_ne^{in\omega t} \end{align*} \] 其中
\[C_n = \begin{cases} \frac{a_0}{2} & \text{if } n = 0,\\ \frac{a_n-ib_n}{2} & \text{if } n = \mathrm{N^*},\\ \frac{a_n+ib_n}{2} & \text{if } n = -\mathrm{N^*}. \end{cases} \] 将\(a_n\)和\(b_n\)展开后，我们得到：
\[C_n = \begin{cases} \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)dt & \text{if } n = 0,\\ \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}dt & \text{if } n = \mathrm{N^*},\\ \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}dt & \text{if } n = -\mathrm{N^*}. \end{cases} \] 这三个\(C_n\)的形式惊人的统一！统一就是一种美啊！注意到当\(n=0\)时，该式子的情况依然跟其它两种情况一样。那么我们直接就可以把\(C_n\)写成一个式子
\[C_n = \frac{1}{T}\int^{T}_{0}f(t)e^{-in\omega t}dt~~~~~~~~~~~~~~~~~~(n\in\mathbb{Z}) \] 这什么啊！\(C_n\)中有\(f(t)\),\(f(t)\)中又蕴含着\(C_n\)，这种事很奇怪不是吗？原来一个周期函数里面有那么大的学问！等等，说到底它也仅仅被局限在一个周期函数中，能不能，能不能让它脱离周期函数的束缚。
我们令\(t \to \infty\)，此时一个周期函数就变成了一个周期为无穷的函数，此时它就已经不再是周期函数了，我们注意到一些东西发生了变化。
\[\begin{align*} f(t) &= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}C_ne^{i\omega t}dt\\ &= \frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-in\omega t}dt~e^{i\omega t}dt \end{align*} \] 这时候我们等式两边消去f(t)
这时候我们令内层的积分为
\[F(\omega) = \int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-in\omega t}dt \] 这就是最后的傅里叶变换公式了。