Prim 最小生成树

Prim的思想是将任意一个节点作为根，再更新与之相邻的所有边（用一遍循环即可），再将新的离已存在树最近的节点更新并以此节点作为根继续搜
维护一个数组：dis ，记录已用点到未用点的最短距离。

蒟蒻证明

Prim 算法之所以是正确的，主要基于一个判断：
对于任意一个顶点 \(V\) ，连接到该顶点的所有边中的一条最短边 \((V, V_j)\) 必然属于最小生成树（即 任意一个属于最小生成树的连通子图，从外部连接到该连通子图的所有边中的一条最短边必然属于最小生成树）

蒟蒻代码

// Prim
#include <bits/stdc++.h>
#define re register
using namespace std;

struct Edge{
    int to,nxt,val;
};

const int M=2e5+5;
const int N=5e3+5;
int n,m;
int tot=0;
int head[N];
Edge edge[M<<1];    // 无向图开两倍

int dis[N]; // 未更新的点到已更新点的最短距离
int mst=0;
bitset<N> vis;  // 是否更新

void add(int x,int y,int z){
    edge[++tot].to=y;
    edge[tot].val=z;
    edge[tot].nxt=head[x];
    head[x]=tot;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    clock_t c1 = clock();
#ifdef LOCAL
    freopen("data.in","r",stdin);
    freopen("data.out","w",stdout);
#endif
    // ======================================================================
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    cin>>n>>m;
    for(re int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,c; cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
        add(b,a,c);
    }

    dis[1]=0;
    for(re int i=1;i<=n;i++){
        int node=0;
        for(re int j=1;j<=n;j++)
            if((!vis[j]) && dis[j]<dis[node]) node=j;   // 寻找离更新过的点最近的点
        vis[node]=1;
        for(re int j=head[node]; j; j=edge[j].nxt){
            int y=edge[j].to; int w=edge[j].val;
            if((!vis[y]) && w<dis[y]) dis[y]=w; // 更新与该点相邻的点
        }
    }

    if(vis.count()<n) puts("orz");
    else{
        for(re int i=1;i<=n;i++) mst+=dis[i];
        cout<<mst<<endl;
    }
    // ======================================================================
end:
    cerr << "Time Used:" << clock() - c1 << "ms" << endl;
    return 0;
}