倒立摆作为一种典型的控制系统，具有良好的测试性能评估不同的控制方法。其中的基本原理控制系统可以在许多工业应用中找到，如稳定控制行走机器人、航天飞机发射平台振动控制等。
问题概述
考虑一个具有一个*度的一级倒立摆系统如下图所示。系上细杆的小车能在外力的作用下沿平滑的轨道移动，需要设计一个控制器，使其能够控制滑轨一级倒立摆可以在其垂直位置经过干扰后维持稳定。
对于这个例子，我们假设：
| M |
小车质量 |
0.5kg |
| m |
摆质量 |
0.5kg |
| b |
车的摩擦力 |
0.1N/m/sec |
| l |
摆到质心的长度 |
0.3m |
| I |
摆惯量 |
0.006kg*m^2 |
| F |
外界施加的力 |
|
| x |
车的位置 |
|
| 垂直方向摆偏角 |
这个系统的模型方程列举如下：
找出相关的状态空间模型。
模拟倒立摆系统在脉冲力和阶跃力作用下的响应。分析系统的稳定性条件，还需要验证系统的可控性和可观察性。
其次，需要模拟倒立摆系统在冲击力和步进力作用下的动力学行为。分析系统的稳定性条件，还需要检查系统的可控性和可观测性。
第三，尝试设计一个状态反馈控制器来稳定系统，提高系统的性能(应该使用极点配置和线性二次型最优方法设计)。为了使设计更具挑战性，请对小车应用阶跃输入。小车应在5秒内到达理想位置，上升时间在0.5秒内。我们还将限制摆杆的超调到20度(0.35弧度)，它也应该在5秒内稳定下来。倒立摆工程的设计要求是:
1、 设定x和时间小于5秒
2、上升时间为x小于0.5秒
3、 x的超调小于20度(0.35弧度)。
如果所有状态都不可测量，请为状态反馈控制器设计一个更快的稳定的全维状态观测器。
如果只有x和是可测的，请为状态反馈控制器设计一个降阶状态观测器。
最后，如果我们重新定义y = x，系统就变成了一个SISO系统。请为新系统设计一个无稳态误差跟踪控制器，以消除稳态误差。控制器的原理图如图2所示，在本项目中，增加一个等于0.2 m的阶跃信号作为参考输入。该控制器的目标是在稳定状态下跟踪参考输入。
详细代码及报告：