题目
思路
经过一系列变换后，发现只要平方和最小，均方差也最小，对于平方和，我们使用dp求解。
设
f
l
x
,
r
x
,
l
y
,
r
y
,
k
f_{lx,rx,ly,ry,k}
flx,rx,ly,ry,k为（lx，ly）至（rx,ry）切k次的最小平方和。
那么有：
f
l
x
,
r
x
,
l
y
,
r
y
,
0
=
(
l
x
,
r
x
)
至
(
l
y
,
r
y
)
的
平
方
和
(
1
<
=
l
x
<
=
8
,
1
<
=
l
y
<
=
8
,
l
x
<
=
r
x
<
=
9
,
l
y
<
=
r
y
<
=
8
)
f_{lx,rx,ly,ry,0}=(lx,rx)至(ly,ry)的平方和(1<=lx<=8,1<=ly<=8,lx<=rx<=9,ly<=ry<=8)
flx,rx,ly,ry,0=(lx,rx)至(ly,ry)的平方和(1<=lx<=8,1<=ly<=8,lx<=rx<=9,ly<=ry<=8)
f
l
x
,
r
x
,
l
y
,
r
y
,
k
=
m
i
n
(
f
l
x
,
k
x
,
l
y
,
r
y
,
0
+
f
k
x
+
1
,
r
x
,
l
y
,
r
y
,
k
−
1
,
f
l
x
,
k
x
,
l
y
,
r
y
,
k
−
1
+
f
k
x
+
1
,
r
x
,
l
y
,
r
y
,
0
,
f
l
x
,
r
x
,
l
y
,
k
y
,
0
+
f
l
x
,
r
x
,
k
y
+
1
,
r
y
,
k
−
1
,
f
l
x
,
r
x
,
l
y
,
k
y
,
k
−
1
+
f
l
x
,
r
x
,
k
y
+
1
,
r
y
,
0
)
(
1
<
=
k
<
n
,
1
<
=
l
x
<
=
8
,
1
<
=
l
y
<
=
8
,
l
x
<
=
r
x
<
=
8
,
l
y
<
=
r
y
<
=
8
,
l
x
<
=
k
x
<
r
x
,
l
y
<
=
k
y
<
r
y
)
f_{lx,rx,ly,ry,k}=min(f_{lx,kx,ly,ry,0}+f_{kx+1,rx,ly,ry,k-1},f_{lx,kx,ly,ry,k-1}+f_{kx+1,rx,ly,ry,0},f_{lx,rx,ly,ky,0}+f_{lx,rx,ky+1,ry,k-1},f_{lx,rx,ly,ky,k-1}+f_{lx,rx,ky+1,ry,0})(1<=k<n,1<=lx<=8,1<=ly<=8,lx<=rx<=8,ly<=ry<=8,lx<=kx<rx,ly<=ky<ry)
flx,rx,ly,ry,k=min(flx,kx,ly,ry,0+fkx+1,rx,ly,ry,k−1,flx,kx,ly,ry,k−1+fkx+1,rx,ly,ry,0,flx,rx,ly,ky,0+flx,rx,ky+1,ry,k−1,flx,rx,ly,ky,k−1+flx,rx,ky+1,ry,0)(1<=k<n,1<=lx<=8,1<=ly<=8,lx<=rx<=8,ly<=ry<=8,lx<=kx<rx,ly<=ky<ry)
然后再求一次均方差即可。
code：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
double f[10][10][10][10][20],a[10][10],b[10][10];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for (int i=1;i<=8;i++)
{
for (int j=1;j<=8;j++)
{
cin>>a[i][j];
b[i][j]=a[i][j]+b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
}
}
for (int lx=1;lx<=8;lx++) for (int ly=1;ly<=8;ly++) for (int rx=lx;rx<=8;rx++) for (int ry=ly;ry<=8;ry++)
{
double x=b[rx][ry]-b[lx-1][ry]-b[rx][ly-1]+b[lx-1][ly-1];
f[lx][rx][ly][ry][0]=x*x;
}
for (int k=1;k<n;k++) for (int lx=1;lx<=8;lx++)
{
for (int ly=1;ly<=8;ly++) for (int rx=lx;rx<=8;rx++) for (int ry=ly;ry<=8;ry++)
{
f[lx][rx][ly][ry][k]=0x3f3f3f3f;
for (int kx=lx;kx<rx;kx++) f[lx][rx][ly][ry][k]=min(f[lx][rx][ly][ry][k],min(f[lx][kx][ly][ry][0]+f[kx+1][rx][ly][ry][k-1],f[lx][kx][ly][ry][k-1]+f[kx+1][rx][ly][ry][0]));
for (int ky=ly;ky<ry;ky++) f[lx][rx][ly][ry][k]=min(f[lx][rx][ly][ry][k],min(f[lx][rx][ly][ky][0]+f[lx][rx][ky+1][ry][k-1],f[lx][rx][ly][ky][k-1]+f[lx][rx][ky+1][ry][0]));
}
}
double s=b[8][8]/n,ans2=f[1][8][1][8][n-1]/n-s*s;
printf("%.3lf",sqrt(ans2));
return 0;
}