如何设计一个卡方检验

从 \(0,1,··· ,2^n −1\) 中随机取一个数, 取完后放回. 独立重复这个过程 k 次, 事件 \(A_m\):“此 k 个数中最大的数是 m”的概率\(P_m\)。(\(m≤2^n-1\))

  • 设\(P_A\)为k次试验取得的数均小于等于m的概率,显然\(P_A\)中包含k次试验均取出小于m值的事件,则\(P_A = (\frac{m+1}{2^n})^k\)

    设\(P_B\)为k次试验取得的数均小于m的概率,则\(P_B = (\frac{m}{2^n})^k\)

    则\(P_m = P_A -P_B = (\frac{m+1}{2^n})^k-(\frac{m}{2^n})^k = \frac{(m+1)^k-m^k}{(2^n)^k}\)

  • 1)取n=3,k=3

    则P(0) = 1/512,P(1) = 7/512,P(2) = 19/512,

    P(3) = 37/512,P(4) = 61/512,P(5) = 91/512,

    P(6) = 127/512,P(7) = 169/512

    2)将试验结果分为以下四类:

    \(e_1\):取出来的数小于等于4 ,\(P_1 = \frac{125}{512}\)

    \(e_2\):取出来的数最大为5,\(P_2 = \frac{91}{512}\)

    \(e_3\):取出来的数最大为6,\(P_3 = \frac{127}{512}\)

    \(e_4\):取出来的数最大为7,\(P_4 = \frac{169}{512}\)

    3) 算法如下:

    独立重复n次试验后可得\(e_1,e_2,e_3,e_4\)出现的次数为$ η_1,η_2,η_3,η_4$

    四项分布理论$ ξ = \sum_{i=1}^{4}{\frac{(η_i-nP_i)^2}{nP_i}}$ ~ $ χ^2(3)$

    则观察值为$ ξ_{obs}= \sum_{i=1}^{4}{\frac{(η_i-nP_i)^2}{nP_i}}$

    \(P_{val} = Q(\frac{3}{2},\frac{ξ_{obs}}{2})\)

    4)举例该算法检验过程如下:

    例如100010111101001010分为两组,一组为100(4)010(2)111(7),另一组为101(5)001(1)010(2)

    第一组属于\(e_4\),第一组属于\(e_2\),即对于这一组数据来说,\(,e_1,e_3\)出现了0次,\(,e_2,e_4\)

    出现了1次。

    则观察值$ ξ_{obs}=2P_1 + 2P_3 + \frac{(1-2P_2)^2}{2P_2} + \frac{(1-2P_4)^2}{2P_4} = 2.328$

    借助MATLAB平台算出P值为0.7232

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