题目链接

BZOJ：https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5292

洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4457

LOJ：https://loj.ac/problem/2513

Solution

神仙期望题(可能是我期望太差了QAQ)

这题看懂题可能占了\(50\%\)的难度....

题目中的最大值最小值指的是上限和下限，我就是因为这个懵了好久...那么容易发现其他的怪你\(A\)多少下或者奶多少下都没有问题，我们只需要考虑自己就好了。

设\(p_i\)表示一个回合对自己造成\(i\)点伤害的概率，这里不考虑自己的上下界，那么显然可以得到：
\[ p_i=\dfrac{\binom{k}{i}m^{k-i}}{(m+1)^k} \]
分母是总情况，分子组合数表示哪些攻击到自己，剩下的随便选。

设\(f_i\)表示答案，即自己有\(i\)滴血可以存活回合数的期望，那么仔细想想可以得到一个这样的式子：
\[ f_i=\frac{m}{m+1}\left(\sum_{j=i}^{n}p_j+\sum_{j=0}^{i-1}p_j(f_{i-j}+1) \right)+\frac{1}{m+1}\left(\sum_{j=i+1}^{n}p_j+\sum_{j=0}^ip_j(f_{i+1-j}-1)\right) \]
前半部分算的是自己没被奶，括号内的\(\sum_{j=i}^np_j\)表示的是自己这回合被\(A\)死了，那么一定要\(A\) \(i\)次或以上，然后回合数为\(1\)，乘起来就是这个，后面部分表示自己没被\(A\)死，那么回合数就是\(f_{i-j}+1\)，\(+1\)是因为要算上本回合。

后半部分算的是自己被奶了，和前面差不多。

把式子画一下，\((f_{i-j}+1)\)这个括号展开，由于：
\[ \sum_{i=0}^{n}p_i=1 \]
这个可以根据定义得到。

然后把式子展开：
\[ f_i=\frac{m}{m+1}\left(1+\sum_{j=0}^{i-1}p_jf_{i-j} \right)+\frac{1}{m+1}\left(1+\sum_{j=0}^ip_jf_{i+1-j}\right) \]

\[ f_i=1+\frac{m}{m+1}\sum_{j=0}^{i-1}p_jf_{i-j}+\frac{1}{m+1}\sum_{j=0}^ip_jf_{i+1-j} \]

注意下边界条件，因为满血不能被奶，所以：
\[ f_n=1+\sum_{i=0}^{n-1}p_if_{n-i} \]
那么我们得到了一堆的方程，至此我们可以\(O(Tn^3)\)的高斯消元解决。

但是这并不足以通过本题，我们观察一下高斯消元列出来的矩阵，大概长这样：
\[ \begin{bmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&0&0&\cdots&0\\ a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}&0&\cdots&0\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&a_{3,4}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n-2,1}&a_{n-2,2}&a_{n-2,3}&a_{n-2,4}&\cdots&a_{n-2,n}\\ a_{n-1,1}&a_{n-1,2}&a_{n-1,3}&a_{n-1,4}&\cdots&a_{n-1,n}\\ a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&a_{n,4}&\cdots&a_{n,n}\\ \end{bmatrix} \]
总之就是主对角线左边是满的，右边有一格有值。

那么我们高斯消元的时候每次只会对三个值造成影响，那么复杂度就降为\(O(Tn^2)\)，足以通过此题。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}

void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}

#define lf double
#define ll long long 

const int maxn = 1.5e3+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 1e9+7;

int n,P,k,m,p[maxn],inv[maxn],fac[maxn],ifac[maxn],a[maxn][maxn],im;

int add(int x,int y) {return x+y>mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}

int qpow(int aa,int x) {
    int res=1;
    for(;x;x>>=1,aa=mul(aa,aa)) if(x&1) res=mul(res,aa);
    return res;
}

void solve() {
    read(n),read(P),read(m),read(k);im=qpow(m+1,mod-2);
    if(k==0) return puts("-1"),void();
    if(m==0) {
        if(k==1) puts("-1");
        else {int res=0;for(;P>0;) {if(P<n) P++;P-=k;res++;}write(res);}return ;
    }
    inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    ifac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++) ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
    p[0]=mul(qpow(m,k),qpow(qpow(m+1,k),mod-2));
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=mul(mul(p[i-1],mul(i>k?0:k-i+1,inv[i])),qpow(m,mod-2));

    for(int i=1;i<n;i++) {
        a[i][n+1]=a[i][i]=mod-1;
        for(int j=0;j<i;j++) a[i][i-j]=add(a[i][i-j],mul(mul(im,m),p[j]));
        for(int j=0;j<=i;j++) a[i][i+1-j]=add(a[i][i+1-j],mul(im,p[j]));
    }a[n][n+1]=a[n][n]=mod-1;
    for(int i=0;i<n;i++) a[n][n-i]=add(a[n][n-i],p[i]);
    
    a[1][2]=mul(a[1][2],qpow(a[1][1],mod-2));
    if(n!=1) a[1][n+1]=mul(a[1][n+1],qpow(a[1][1],mod-2));
    a[1][1]=1;
    
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        for(int j=1;j<i;j++) {
            if(!a[i][j]) continue;
            a[i][j+1]=del(a[i][j+1],mul(a[j][j+1],a[i][j]));
            a[i][n+1]=del(a[i][n+1],mul(a[j][n+1],a[i][j]));
            a[i][j]=0;
        }
        a[i][i+1]=mul(a[i][i+1],qpow(a[i][i],mod-2));
        if(i!=n) a[i][n+1]=mul(a[i][n+1],qpow(a[i][i],mod-2));
        a[i][i]=1;
    }
    
    for(int i=n-1;i;i--) a[i][n+1]=del(a[i][n+1],mul(a[i+1][n+1],a[i][i+1]));
    write(a[P][n+1]);
    
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=a[i][i+1]=a[i][n+1]=0;
}

int main() {
    int t;read(t);while(t--) solve();
    return 0;
}