二分题目总结

2023-10-06 12:32:46

二分作为基础算法，主要有两种题型

1.二分查找

二分查找是利用二分搜索时间复杂度O(logn)的性质，对于算法中某一步骤需要优化的时候，使用二分查找优化，又分为实数二分和整数二分

(1).实数二分

实数二分比较简单，主要是在数轴上寻找某一个点，是否满足性质

1.数的三方根

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=10000;
int main()
{
    double n;
    cin>>n;
    double l=-10000,r=N;
    while(r-l>1e-7)        //一般都是要多加几位，保持精度
    {
        double mid=(l+r)/2;
        if(mid*mid*mid>=n)
            r=mid;
        else
            l=mid;
    }
    printf("%.6f",r);
}

2.银行贷款

(2)二分优化，二分查找

二分模板

二分优化分为两种

1.寻找一个点

寻找一个点就是在区间中寻找唯一满足条件的点(没有重复)，主要代表类型有抽签问题

其中四平方和就是经典的抽签问题

2.寻找一段区间

在一个区间中，可能存在多个点满足要求，他们的值相同，我们可以运用二分性质

先找左侧边界，再找右侧边界，就是最后的答案

2.二分答案

二分答案是利用二分的性质(寻找第一个满足要求的点，寻找最后一个满足要求的点)

二分答案能够使用的前提是：

1.二分性

在一个点的左边全部满足要求，右边全部不满足要求

反之也成立

2.单调性满足二分性的时候通常情况下都满足单调性，但是单调性不是必要的前提

二分答案的模板(以第一个满足的点为例)

while(l<r)
{
    int mid=l+r>>1;
    if(check())     //满足某个要求   
        r=mid;
    else
        l=mid+1;
}

check()函数是什么

check函数表示某种要求，这种要求在一个点的左边全部不满足，在一个点的右边全部不满足

check实质就是验证答案是否可行，可行就返回true，不可行就false

check函数通常控制在O(n)的时间复杂度，对于很多情况，check()函数的实现可以使用不同的优化

我们先来介绍一下模拟实现check()

(1)模拟

模拟的实现check()：

通常会使用到一些简单数学简单递推

简单数学模拟

机器人跳跃问题

P1873 [COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

P2440 木材加工

（2）贪心优化

直接照着题意来太难实现了？代码太长不会做了？时间复杂度太高卡壳了？

不如试试贪心优化，贪心优化check函数！

贪心优化首先是一个经典问题：分书

分书问题

有N本书排成一行，已知第i本的厚度是Ai

把它们分成连续的M组，使得T最小化，T表示厚度之和最大的一组的厚度

这个问题怎么贪心？

很简单，要放的书要超出给定值了，那么我们就**别放进去了

bool check(int x)
{//这里的书必须单调递增
//x==t,m是给定的最多组数
    int cnt=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(a[i]+b[cnt]>x)
         {
             b[++cnt]=a[i];              
         }
        else
            b[cnt]+=a[i];
return cnt<=m;
}

或者

bool check(int x)
{//一样的，一组高度必须单调递增
    int group=1,rest=size;
    //res表示一个组剩余容量
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(res>=a[i])  rest-=a[i];
        else group++,rest=size-a[i];
    }
    return group<=m;
}

P1182 数列分段 Section II

P2678 [NOIP2015 提高组] 跳石头(二分答案+贪心)

P3853 [TJOI2007]路标设置