B树
具体讲解之前，有一点，再次强调下：B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree，而国内很多人喜欢把B-tree译作B-树，其实，这是个非常不好的直译，很容易让人产生误解。如人们可能会以为B-树是一种树，而B树又是一种一种树。而事实上是，B-tree就是指的B树。特此说明。
我们知道，B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉（下面你会看到，相对于二叉，B树每个内结点有多个分支，即多叉）平衡查找树。与本blog之前介绍的红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。许多数据库系统都一般使用B树或者B树的各种变形结构，如下文即将要介绍的B+树，B*树来存储信息。
B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。
如下图所示，即是一棵B树，一棵关键字为英语中辅音字母的B树，现在要从树种查找字母R（包含n[x]个关键字的内结点x，x有n[x]+1]个子女（也就是说，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女）。所有的叶结点都处于相同的深度，带阴影的结点为查找字母R时要检查的结点）：
相信，从上图你能轻易的看到，一个内结点x若含有n[x]个关键字，那么x将含有n[x]+1个子女。如含有2个关键字D H的内结点有3个子女，而含有3个关键字Q T X的内结点有4个子女。
B 树又叫平衡多路查找树。一棵m阶的B 树 (m叉树)的特性如下：
- 树中每个结点最多含有m个孩子（m>=2）；
- 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
- 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
- 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；（读者反馈@冷岳：这里有错，叶子节点只是没有孩子和指向孩子的指针，这些节点也存在，也有元素。@JULY：其实，关键是把什么当做叶子结点，因为如红黑树中，每一个NULL指针即当做叶子结点，只是没画出来而已）。
- 每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
c) 关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。如下图所示：
针对上面第5点，再阐述下：B树中每一个结点能包含的关键字（如之前上面的D H和Q T X）数有一个上界和下界。这个下界可以用一个称作B树的最小度数（算法导论中文版上译作度数，最小度数即内节点中节点最小孩子数目）t（t>=2）表示。
- 每个非根的结点必须至少含有t-1个关键字。每个非根的内结点至少有t个子女。如果树是非空的，则根结点至少包含一个关键字；
- 每个结点可包含之多2t-1个关键字。所以一个内结点至多可有2t个子女。如果一个结点恰好有2t-1个关键字，我们就说这个结点是满的（而稍后介绍的B*树作为B树的一种常用变形，B*树中要求每个内结点至少为2/3满，而不是像这里的B树所要求的至少半满）；
- 当关键字数t=2（t=2的意思是，tmin=2，t可以>=2）时的B树是最简单的（有很多人会因此误认为B树就是二叉查找树，但二叉查找树就是二叉查找树，B树就是B树，B树的真正最准确的定义为：一棵含有t（t>=2）个关键字的平衡多路查找树）。每个内结点可能因此而含有2个、3个或4个子女，亦即一棵2-3-4树，然而在实际中，通常采用大得多的t值。
B树中的每个结点根据实际情况可以包含大量的关键字信息和分支(当然是不能超过磁盘块的大小，根据磁盘驱动(disk drives)的不同，一般块的大小在1k~4k左右)；这样树的深度降低了，这就意味着查找一个元素只要很少结点从外存磁盘中读入内存，很快访问到要查找的数据。
B树的类型和节点定义如下图所示：
为了简单，这里用少量数据构造一棵3叉树的形式，实际应用中的B树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点，其中17比表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。
其结构可以简单定义为：
typedef struct {
/*文件数*/
int file_num;
/*文件名(key)*/
char * file_name[max_file_num];
/*指向子节点的指针*/
BTNode * BTptr[max_file_num+1];
/*文件在硬盘中的存储位置*/
FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];
}BTNode;
假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。
下面，咱们来模拟下查找文件29的过程：
- 根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】
- 此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现17<29<35，因此我们找到指针p2。
- 根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】
- 此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发,26<29<30，因此我们找到指针p2。
- 根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】
- 此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文,29，并定位了该文件内存的磁盘地址。
分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作时影响整个B树查找效率的决定因素。
当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘4次，最多5次，而且文件越多，B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。
B树的高度
根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。而B树的高度由什么决定的呢？
根据B树的高度公式:
其中T为度数（每个节点包含的元素个数），即所谓的阶数，N为总元素个数或总关键字数。
我们可以看出T对于树的高度有决定性的影响。因此如果每个节点包含更多的元素个数，在元素个数相同的情况下，则更有可能减少B树的高度。这也是为什么SQL Server中需要尽量以窄键建立聚集索引。因为SQL Server中每个节点的大小为8092字节，如果减少键的大小，则可以容纳更多的元素，从而减少了B树的高度，提升了查询的性能。
上面B树高度的公式也可以进行推导得出，将每一层级的的元素个数加起来，比如度为T的节点，根为1个节点，第二层至少为2个节点，第三层至少为2t个节点，第四层至少为2t*t个节点。将所有最小节点相加，从而得到节点个数N的公式:
两边取对数，则可以得到树的高度公式。
这也就是说每个节点必须至少有两个子元素，因为根据高度公式，如果每个节点只有一个元素，也就是T=1的话，那么高度将会趋于正无穷。
4.B+-tree
B+-tree：是应文件系统所需而产生的一种B-tree的变形树。
一棵m阶的B+树和m阶的B树的差异在于：
1.有n棵子树的结点中含有n个关键字； (而B 树是n棵子树有n-1个关键字)
2.所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接。 (而B 树的叶子节点并没有包括全部需要查找的信息)
3.所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B 树的非终节点也包含需要查找的有效信息)
a) 为什么说B+-tree比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？
1) B+-tree的磁盘读写代价更低
B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。
2) B+-tree的查询效率更加稳定
由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
b) B+-tree的应用: VSAM(虚拟存储存取法)文件(来源论文 the ubiquitous Btree 作者：D COMER - 1979 )
5.B*-tree
B*-tree是B+-tree的变体，在B+ 树非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。给出了一个简单实例，如下图所示：
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；
6、B树的插入、删除操作
- 树中每个结点含有最多含有m个孩子，即m满足：ceil(m/2)<=m<=m。
- 除根结点和叶子结点外，其它每个结点至少有[ceil(m / 2)]个孩子（其中ceil(x)是一个取上限的函数）；
- 若根结点不是叶子结点，则至少有2个孩子（特殊情况：没有孩子的根结点，即根结点为叶子结点，整棵树只有一个根节点）；
- 所有叶子结点都出现在同一层，叶子结点不包含任何关键字信息(可以看做是外部接点或查询失败的接点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针都为null)；
- 每个非终端结点中包含有n个关键字信息： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：
a) Ki (i=1...n)为关键字，且关键字按顺序升序排序K(i-1)< Ki。
b) Pi为指向子树根的接点，且指针P(i-1)指向子树种所有结点的关键字均小于Ki，但都大于K(i-1)。
c) 除根结点之外的结点的关键字的个数n必须满足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1（叶子结点也必须满足此条关于关键字数的性质，根结点除外）。
ok，下面咱们以一棵5阶（即树中任一结点至多含有4个关键字，5棵子树）B树实例进行讲解(如下图所示)：
备注：
- 关键字数（2-4个）针对--非根结点（包括叶子结点在内），孩子数（3-5个）--针对根结点和叶子结点之外的内结点。当然，根结点是必须至少有2个孩子的，不然就成直线型搜索树了。
- 曾在一次面试中被问到，一棵含有N个总关键字数的m阶的B树的最大高度是多少?答曰：log_ceil（m/2）N （上面中关于m阶B树的第1点特性已经提到：树中每个结点含有最多含有m个孩子，即m满足：ceil(m/2)<=m<=m。而树中每个结点含孩子数越少，树的高度则越大，故如此）。在2012微软4月份的笔试中也问到了此问题。更多原理请看上文第3小节末：B树的高度。
下图中关键字为大写字母，顺序为字母升序。
结点定义如下：
typedef struct{
int Count; // 当前节点中关键元素数目
ItemType Key[4]; // 存储关键字元素的数组
long Branch[5]; // 伪指针数组，(记录数目)方便判断合并和分裂的情况
} NodeType;
6.1、插入（insert）操作
插入一个元素时，首先在B树中是否存在，如果不存在，即在叶子结点处结束，然后在叶子结点中插入该新的元素，注意：如果叶子结点空间足够，这里需要向右移动该叶子结点中大于新插入关键字的元素，如果空间满了以致没有足够的空间去添加新的元素，则将该结点进行“分裂”，将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻右结点中，中间关键字元素上移到父结点中（当然，如果父结点空间满了，也同样需要“分裂”操作），而且当结点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移。如果在根结点插入新元素，空间满了，则进行分裂操作，这样原来的根结点中的中间关键字元素向上移动到新的根结点中，因此导致树的高度增加一层。如下图所示：
1、OK，下面咱们通过一个实例来逐步讲解下。插入以下字符字母到一棵空的B 树中（非根结点关键字数小了（小于2个）就合并，大了（超过4个）就分裂）：C N G A H E K Q M F W L T Z D P R X Y S，首先，结点空间足够，4个字母插入相同的结点中，如下图：
2、当咱们试着插入H时，结点发现空间不够，以致将其分裂成2个结点，移动中间元素G上移到新的根结点中，在实现过程中，咱们把A和C留在当前结点中，而H和N放置新的其右邻居结点中。如下图：
3、当咱们插入E,K,Q时，不需要任何分裂操作
4、插入M需要一次分裂，注意M恰好是中间关键字元素，以致向上移到父节点中
5、插入F,W,L,T不需要任何分裂操作
6、插入Z时，最右的叶子结点空间满了，需要进行分裂操作，中间元素T上移到父节点中，注意通过上移中间元素，树最终还是保持平衡，分裂结果的结点存在2个关键字元素。
7、插入D时，导致最左边的叶子结点被分裂，D恰好也是中间元素，上移到父节点中，然后字母P,R,X,Y陆续插入不需要任何分裂操作（别忘了，树中至多5个孩子）。
8、最后，当插入S时，含有N,P,Q,R的结点需要分裂，把中间元素Q上移到父节点中，但是情况来了，父节点中空间已经满了，所以也要进行分裂，将父节点中的中间元素M上移到新形成的根结点中，注意以前在父节点中的第三个指针在修改后包括D和G节点中。这样具体插入操作的完成，下面介绍删除操作，删除操作相对于插入操作要考虑的情况多点。
6.2、删除(delete)操作
（1）删除操作的两个步骤
第一步骤：在树中查找被删关键字K所在的地点
第二步骤：进行删去K的操作
（2）删去K的操作
B-树是二叉排序树的推广，中序遍历B-树同样可得到关键字的有序序列（具体遍历算法【参见练习】）。任一关键字K的中序前趋(后继)必是K的左子树(右子树)中最右(左)下的结点中最后(最前)一个关键字。
若被删关键字K所在的结点非树叶，则用K的中序前趋(或后继)K'取代K，然后从叶子中删去K'。从叶子*x开始删去某关键字K的三种情形为：
情形一：若x->keynum>Min，则只需删去K及其右指针(*x是叶子，K的右指针为空)即可使删除操作结束。
注意：
情形二：若x->keynum=Min，该叶子中的关键字个数已是最小值，删K及其右指针后会破坏B-树的性质(3)。若*x的左(或右)邻兄弟结点*y中的关键字数目大于Min，则将*y中的最大(或最小)关键字上移至双亲结点*parent中，而将*parent中相应的关键字下移至x中。显然这种移动使得双亲中关键字数目不变；*y被移出一个关键字，故其keynum减1，因它原大于Min，故减少1个关键字后keynum仍大于等于Min；而*x中已移入一个关键字，故删K后*x中仍有Min个关键字。涉及移动关键字的三个结点均满足B-树的性质(3)。 请读者验证，上述操作后仍满足B-树的性质(1)。移动完成后，删除过程亦结束。
情形三：若*x及其相邻的左右兄弟(也可能只有一个兄弟)中的关键字数目均为最小值Min，则上述的移动操作就不奏效，此时须*x和左或右兄弟合并。不妨设*x有右邻兄弟*y(对左邻兄弟的讨论与此类似)，在*x中删去K后，将双亲结点*parent中介于*x和*y之间的关键字K，作为中间关键字，与并x和*y中的关键字一起"合并"为一个新的结点取代*x和*y。因为*x和*y原各有Min个关键字，从双亲中移人的K'抵消了从*x中删除的K，故新结点中恰有2Min(即2「m/2」-2≤m-1)个关键字，没有破坏B-树的性质(3)。但由于K'从双亲中移到新结点后，相当于从*parent中删去了K'，若parent->keynum原大于Min，则删除操作到此结束；否则，同样要通过移动*parent的左右兄弟中的关键字或将*parent与其 左右兄弟合并的方法来维护B-树性质。最坏情况下，合并操作会向上传播至根，当根中只有一个关键字时，合并操作将会使根结点及其两个孩子合并成一个新的根，从而使整棵树的高度减少一层。
分析：
第1个被删的关键字h是在叶子中，且该叶子的keynum>Min(5阶B-树的Min=2)，故直接删去即可。第2个删去的r不在叶子中，故用中序后继s取代r，即把s复制到r的位置上，然后从叶子中删去s。第3个删去的p所在的叶子中的关键字数目是最小值Min，但其右兄弟的keynum>Min，故可以通过左移，将双亲中的s移到p所在的结点，而将右兄弟中最小(即最左边)的关键字t上移至双亲取代s。当删去d时，d所在的结点及其左右兄弟均无多余的关键字，故需将删去d后的结点与这两个兄弟中的一个(图中是选择左兄弟(ab))及其双亲中分隔这两个被合并结点的关键字c合并在一起形成一个新结点(abce)。但因为双亲中失去c后keynum<Min，故必须对该结点做调整操作，此时它只有一个右兄弟，且右兄弟无多余的关键字，不可能通过移动关键字来解决。因此引起再次合并，因根只有一个关键字，故合并后树高度减少一层，从而得到上图的最后一个图。
B-树的高度及性能分析
B-树上操作的时间通常由存取磁盘的时间和CPU计算时间这两部分构成。B-树上大部分基本操作所需访问盘的次数均取决于树高h。关键字总数相同的情况下B-树的高度越小，磁盘I/O所花的时间越少。
与高速的CPU计算相比，磁盘I/O要慢得多，所以有时忽略CPU的计算时间，只分析算法所需的磁盘访问次数（磁盘访问次数乘以一次读写盘的平均时间(每次读写的时间略有差别)就是磁盘I/O的总时间）。
1、B-树的高度
定理9.1 若n≥1，m≥3，则对任意一棵具有n个关键字的m阶B-树，其树高h至多为：
logt((n+1)/2)+1。
这里t是每个(除根外)内部结点的最小度数，即
由上述定理可知：B-树的高度为O(logtn)。于是在B-树上查找、插入和删除的读写盘的次数为O(logtn)，CPU计算时间为O(mlogtn)。
2、性能分析
①n个结点的平衡的二叉排序的高度H（即lgn）比B-树的高度h约大lgt倍。
【例】若m=1024，则lgt=lg512=9。此时若B-树高度为4，则平衡的二叉排序树的高度约为36。显然，若m越大，则B-树高度越小。
②若要作为内存中的查找表，B-树却不一定比平衡的二叉排序树好，尤其当m较大时更是如此。
因为查找等操作的CPU计算时间在B-树上是
O(mlogtn)=0(lgn·(m/lgt))
而m/lgt>1，所以m较大时O(mlogtn)比平衡的二叉排序树上相应操作的时间O(lgn)大得多。因此，仅在内存中使用的B-树必须取较小的m。（通常取最小值m=3，此时B-树中每个内部结点可以有2或3个孩子，这种3阶的B-树称为2-3树）。
B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：
1.其定义基本与B-树同，除了：
2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
5.为所有叶子结点增加一个链指针；
6.所有关键字都在叶子结点出现；
如：（M=3）
B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；
B+的特性：
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
2.不可能在非叶子结点命中；
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
4.更适合文件索引系统；
B*树
是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；