干货 | 10分钟教你用branch and bound（分支定界）算法求解TSP旅行商问题

2022-10-29 16:12:30

OUTLINE

- 前言

- 程序说明

- branch and bound过程

- 运行说明

前言

前面我们讲了branch and bound算法的原理以及在整数规划模型上的应用代码。但代码都局限于整数规划模型和优化求解器。

我们也说了，branch and bound算法是一个比较通用的算法，可以脱离求解器去求解很多特定的问题的。

所以今天给大家带来一期用分支定界算法求解TSP问题的代码实现，完全脱离求解器，让大家看看该算法的魅力所在。

本文代码下载请移步留言区。

程序说明

整个程序如下所示：

其中各个模块说明如下：

- Timer：计时用。

- TSPInstanceReader：TSPLIB标准算例读取用。

- PriorityQueue：优先队列。

- Node：搜索树的节点。

- City：保存城市的坐标，名字等。

- BranchBound_TSP：BB算法主程序。

该branch and bound的搜索树是以优先队列的搜索方式遍历的，结合上期所讲的内容，也可谓是把三种搜索方式的例子都给大家讲了一遍了。

branch and bound过程

在此之前，先给大家讲讲最重要的一个点，搜索树的节点定义，节点定义了原问题的solution和子问题的solution。Node节点定义如下：

public class Node {    private ArrayList<Integer> path;    private double bound;    private int level;        public double computeLength(double[][] distanceMatrix) {        // TODO Auto-generated method stub        double distance = 0;        for(int i=0;i<this.getPath().size()-1;i++){            distance = distance + distanceMatrix[this.getPath().get(i)][this.getPath().get(i+1)];        }        return distance;    }

其余不重要的接口略过。如下：

- path：保存该节点目前已经走过的城市序列。

- bound：记录该节点目前所能达到的最低distance。

- level：记录节点处于搜索树的第几层。

- computeLength：记录当前城市序列的distance。

可能大家还没理解节点是如何分支的，看一张图大家就懂了。我们知道TSP问题的一个solution是能用一个序列表示城市的先后访问顺序，比如现在有4座城市（1，2，3，4）：

图中每个节点的数字序列就是path保存的。大家都看到了吧，其实分支就是一个穷枚举的过程。

相对于穷举，分支定界算法的优越之处就在于其加入了定界过程，在分支的过程中就砍掉了某些不可能的支，减少了枚举的次数，大大提高了算法的效率。如下：

分支定界算法的主过程如下：

private static void solveTSP(double[][] distanceMatrix) {
        int totalCities = distanceMatrix.length;        ArrayList<Integer> cities = new ArrayList<Integer>();        for (int i = 0; i < totalCities; i++) {            cities.add(i);        }        ArrayList<Integer> path;        double initB = initbound(totalCities, distanceMatrix);                Node v = new Node(new ArrayList<>(), 0, initB, 0);        queue.add(v);        queueCount++;        while (!queue.isEmpty()) {            v = queue.remove();            if (v.getBound() < shortestDistance) {                Node u = new Node();                u.setLevel(v.getLevel() + 1);                for (int i = 1; i < totalCities; i++) {                    path = v.getPath();                    if (!path.contains(i)) {                        u.setPath(v.getPath());                        path = u.getPath();                        path.add(i);                        u.setPath(path);                        if (u.getLevel() == totalCities - 2) {                            // put index of only vertex not in u.path at the end                            // of u.path                            for (int j = 1; j < cities.size(); j++) {                                if (!u.getPath().contains(j)) {                                    ArrayList<Integer> temp = new ArrayList<>();                                    temp = u.getPath();                                    temp.add(j);                                    u.setPath(temp);                                }                            }                            path = u.getPath();                            path.add(0);                            u.setPath(path);                            if (u.computeLength(distanceMatrix) < shortestDistance) {                                shortestDistance = u.computeLength(distanceMatrix);// implement                                shortestPath = u.getPath();                            }                        } else {                            u.setBound(computeBound(u, distanceMatrix, cities));                            //u.getBound()获得的是不完整的解，如果一个不完整的解bound都大于当前最优解，那么完整的解肯定会更大，那就没法玩了。                            //所以这里只要u.getBound() < shortestDistance的分支                            if (u.getBound() < shortestDistance) {                                queue.add(u);                                queueCount++;                            }                            else {                                System.out.println("currentBest = "+shortestDistance+" cut bound >>> "+u.getBound());                            }                        }                    }                }            }        }    }

1. 首先initbound利用贪心的方式获得一个bound，作为初始解。

2. 而后利用优先队列遍历搜索树，进行branch and bound算法。对于队列里面的任意一个节点，只有(v.getBound() < shortestDistance)条件成立我们才有分支的必要。不然将该支砍掉。

3. 分支以后判断该支是否到达最底层，这样意味着我们获得了一个完整的解。那么此时就可以更新当前的最优解了。

4. 如果没有到达最底层，则对该支进行定界操作。如果该支的bound也比当前最优解还要大，那么也要砍掉的，就像林志炫的单身情歌里面唱的一样：每一个单身狗都得砍头。

然后讲讲定界过程，TSP问题是如何定界的呢？

    private static double computeBound(Node u, double[][] distanceMatrix, ArrayList<Integer> cities) {        double bound = 0;        ArrayList<Integer> path = u.getPath();        for (int i = 0; i < path.size() - 1; i++) {            bound = bound + distanceMatrix[path.get(i)][path.get(i + 1)];        }        int last = path.get(path.size() - 1);        List<Integer> subPath1 = path.subList(1, path.size());        double min;        //回来的        for (int i = 0; i < cities.size(); i++) {            min = Integer.MAX_VALUE;            if (!path.contains(cities.get(i))) {                for (int j = 0; j < cities.size(); j++) {                    if (i != j && !subPath1.contains(cities.get(j))) {                        if (min > distanceMatrix[i][j]) {                            min = distanceMatrix[i][j];                        }                    }                }            }            if (min != Integer.MAX_VALUE)                bound = bound + min;        }                //出去的        min = Integer.MAX_VALUE;        for (int i = 0; i < cities.size(); i++) {            if (/*cities.get(i) != last && */!path.contains(i) && min > distanceMatrix[last][i]) {                min = distanceMatrix[last][i];            }        }        bound = bound + min;        //System.out.println("bound = "+bound);        return bound;    }

我们知道，每个节点保存的城市序列可能不是完整的解。bound的计算方式：bound = 当前节点path序列的路径距离 + 访问下一个城市的最短路径距离 + 从下一个城市到下下城市（有可能是起点）的最短路径距离。

比如城市节点5个｛1，2，3，4，5｝。当前path = ｛1，2｝，那么：

- 当前节点path序列的路径距离 = d12

- 访问下一个城市的最短路径距离 = min (d2i), i in {3,4,5}

- 从下一个城市到下下城市（有可能是起点）的最短路径距离=min (dij), i in {3,4,5} , j in {3,4,5,1}, i != j 。

注意这两个是可以不相等的。