信号与系统总结与分析

信号与系统在学什么呢?一言以蔽之,用数学的手段(傅里叶等)处理signal & system,从而使得人类可以更好的理解他们,处理他们(针对LTI system)

LTI

Linear:加减乘除积分微分

Time-invariant:时移

该数学手段的本质— ”力的分解”

信号与系统中使用的数学手段有:FS FT DTFT DFT Laplace Z 看上去“貌似”很多,但是归根结底,他们在干同一件事,就是进行线性分解,将x(t)线性分解成互相独立的线性叠加,分配到各基底上,(就像物理力学中力的受力分解,分解到x,y,z轴上),从而可以对每个基底上的分量进行独立的分析.

值得注意的是,积分和加法没有本质上的区别,换句话说基底是可以连续的,比如FT DTFT Laplace Z中的基底.

而所谓的分析,说白了,就是通过对x(t)的分解,让每个“轴”可以单独进行分析,即信号经过系统:Y=X*H

常规的理解中,我们进行处理,是为了把卷积这种辛苦的运算,变成乘积这样简单的运算. 这与我上述所说并不矛盾,这是一种进行这样运算后的肉眼可见的优势,实际上,乘积能这样乘,就是因为不同的w s z之间,不会互相影响,(也就是类似于正交基底的概念).这是很好的东西,我们追求的东西.

一言以蔽之, 信号与系统就是类似于对力进行受力分析,进行各坐标分解,从而独立出来方便进行下一步运算

该数学手段的内涵— “频域”

研究刚才所说的基底,我们惊讶的发现,这个基底是可以被我们理解的东西—频率!(Laplace和z变换是复频和z)

频率,直观的感受是振荡的快慢,是圆运动的投影,我们把x(t)中有相同振荡速度的量取出来进行叠加,就是对应频率的幅值
X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt X(w)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt
那FT举例,我们可以看到,把能够和 e j w t e^{jwt} ejwt 保持同步的东西取出来积分就是X(w)

同理,把频域中各分量在t时刻的值取出来就是x(t)(注意到需要归一所以有一个无关紧要的常数2pi)
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( w ) e j w t d t x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(w)e^{jwt}dt x(t)=2π1​∫−∞∞​X(w)ejwtdt

选取坐标系：为了和物理现象保持一致性，往往边界和物理现象也具有一致性，故看上去和边界具有了一致性。如果保持了一致性，那么分布情况会更好找规律或好算。

变换：比如Fourier，相当于是，我在看另一边，另一边在跑，手还在挥，这样我跟另一边保持相同速度一起跑，这样就可以直接清楚的看对方手挥的样子了。类比过来，sin wt 随着t在变换，两边都分解到sin wt 上时，相当于保持相同速度一起跑，约去sin wt 就相当于略去了t这个变量带来的影响，因为已经相同速度跑了，那么t就不影响了。

(13条消息) 数学物理方程逻辑梳理和有关思考_Eva2333的博客-CSDN博客

跟上次所说本质一致

而Laplace和z变换中多了一项,不仅仅是振荡的速度一样,指数衰减的速度(或者指数增长的速度还一样)(其实Laplace变换和z变换本质是相同的,只不过一个是连续一个是离散,但是都是将指数增长(衰减)的量抵消掉)

同样,这也是为什么大多数情况下用jw替换s能顺利从复频域跳到频率的原因,我人为的不管指数变化的那部分了,剩下的就是频率变化的部分

断言:因为所有周期曲线可以这样傅里叶分解,所以连杆系统可以画出所有首尾相接的曲线

离散和连续— 究竟有那么重要吗?”我不觉得”

FS FT DTFT DFT和Laplace Z变换 我认为是两对离散和连续的数学处理方法

当x(t)为周期函数时,FS出场,而x[n]的n为有限数字时,DFT出场,我们会发现不存在低频信息(当然,肯定没有长于T或N对应的T的低频信息了),也不存在频率间隔中的详细信息

DTFT和DFT出场时,x[n]之间的Ts的存在,也让我们发现不存在高频信息(这也是采样定理的来源之一,2ws)

这就是为什么,DTFT的Ω的2pi周期,+pi and -pi(Ts=1对应的ws的2ws),也是为什么DFT中的N个点,也是为什么FS中的kw0

DTFT把离散信号中能表达的最高频率成分，映射到了pi—by fish sensei

Laplace 和 Z 也是一样, 唯一的区别就是,z的频域是离散化的,而对指数控制衰减或增长的幅度的连续的,使得z看上去像是连续的罢了

信号与系统可以考什么?

1. 怎么对一个已知的x(t)/h(t)进行FS FT DTFT DFT Laplace Z
2. 怎么对一个已知的X(w)/H(w)…进行FS FT DTFT DFT Laplace Z的逆变换
3. 怎么通过具体的微分差分方程,电路图等等求得h(t)/H(w)/…
4. 卷积的原理?怎么算卷积?
5. 怎么通过signal and system 得到输出
6. 一些其它的需要掌握的知识,比如FFT的计算复杂度是Nlog2N/2,DFT的是N^2,比如采样定理等等

针对考试进行分析

FS FT DTFT DFT Laplace Z 和其逆变换

基础公式

FS
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ c k e j k w 0 t c k = ∫ − T 2 T 2 x ( t ) e − j k w 0 t d t x(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_ke^{jkw_0t} \\ c_k=\int_{-\frac T2}^{\frac T2}x(t)e^{-jkw_0t}dt x(t)=k=−∞∑+∞​ck​ejkw0​tck​=∫−2T​2T​​x(t)e−jkw0​tdt
FT
x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( w ) e j w t d w X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t x(t)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(w)e^{jwt}dw \\ X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jwt}dt x(t)=2π1​∫−∞∞​X(w)ejwtdwX(w)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt
DTFT
x [ n ] = 1 2 π ∫ − π π X ( Ω ) e j Ω n d Ω X ( Ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] e − j Ω n x[n]=\frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(\Omega)e^{j\Omega n }d\Omega \\ X(\Omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\Omega n} x[n]=2π1​∫−ππ​X(Ω)ejΩndΩX(Ω)=n=−∞∑∞​x[n]e−jΩn
DFT
x [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X k e j 2 π k N n X k = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π k N n x[n]=\frac{1}N\sum_{k=0}^{N-1}X_ke^{j\frac{2\pi k }N n} \\ X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi k }N n} x[n]=N1​k=0∑N−1​Xk​ejN2πk​nXk​=n=0∑N−1​x[n]e−jN2πk​n
Laplace
x ( t ) = 1 2 π j ∫ β − j ∞ β + j ∞ X ( s ) e s t d t X ( s ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d t x(t)=\frac1{2\pi j}\int_{\beta-j\infty}^{\beta+j\infty}X(s)e^{st}dt \\ X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt x(t)=2πj1​∫β−j∞β+j∞​X(s)estdtX(s)=∫−∞∞​x(t)e−stdt
Z
x [ n ] = 1 2 π j ∮ c X ( z ) z n − 1 d z X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n x[n]=\frac{1}{2\pi j}\oint c^{X(z)z^{n-1}}dz \\ X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n} x[n]=2πj1​∮cX(z)zn−1dzX(z)=n=0∑∞​x[n]z−n

计算稳态值或初值

x [ 0 ] = lim ⁡ z − > ∞ X ( z ) x [ ∞ ] = lim ⁡ z − > 1 X ( z ) ∗ ( z − 1 ) x[0]=\lim_{z->\infty}X(z) \\ x[\infty]=\lim_{z->1}X(z)*(z-1) x[0]=z−>∞lim​X(z)x[∞]=z−>1lim​X(z)∗(z−1)

x ( 0 ) = lim ⁡ s − > ∞ s X ( s ) x ( ∞ ) = lim ⁡ s − > 0 s X ( s ) x(0)=\lim_{s->\infty}sX(s) \\ x(\infty)=\lim_{s->0}sX(s) x(0)=s−>∞lim​sX(s)x(∞)=s−>0lim​sX(s)

常见函数变换

1 c 0 = 1 2 π δ ( w ) ∑ k = − ∞ ∞ 2 π δ ( Ω + 2 k π ) ( 无 D F T ) ( 无 l a p l a c e   z ) 1\qquad c_0=1\quad 2\pi\delta(w)\quad \sum_{k=-\infty}^{\infty}2\pi\delta(\Omega+2k\pi) \quad (无DFT)(无laplace\ z) 1c0​=12πδ(w)k=−∞∑∞​2πδ(Ω+2kπ)(无DFT)(无laplace z)

u ( t ) / u [ n ] ( 无 F S ) 1 j w + π δ ( w ) ∑ k = − ∞ ∞ π δ ( Ω + 2 k π ) + 1 1 − e − j Ω ( 无 D F T ) 1 s z z − 1 u(t)/u[n]\qquad (无FS)\quad \frac{1}{jw}+\pi\delta(w) \quad \sum_{k=-\infty}^{\infty}\pi\delta(\Omega+2k\pi)+\frac1{1-e^{-j\Omega}} \quad(无DFT)\quad \frac1s \quad\frac{z}{z-1} u(t)/u[n](无FS)jw1​+πδ(w)k=−∞∑∞​πδ(Ω+2kπ)+1−e−jΩ1​(无DFT)s1​z−1z​

δ ( t ) / δ [ n ] ( 无 F S ) 1 1 ( 无 D F T ) 1 1 \delta(t)/\delta[n] \qquad (无FS) \quad 1\quad 1\quad (无DFT)\quad 1 \quad 1 δ(t)/δ[n](无FS)11(无DFT)11

实话说我感觉其实这就够了,其它都可以通过变形得到
e j θ = c o s θ + j s i n θ e^{j\theta}=cos\theta+jsin\theta ejθ=cosθ+jsinθ
注意此公式即可

考察的都是时移,频移

DFT用原理去计算

数学变换的性质

线性(very easy)

时移(从原理公式的角度去记公式)

频移(从原理公式的角度去记公式)

微分差分(从原理公式的角度去记公式) 去看前面的那个系数

注意微分时会存在sX(s)-x(0_)的情况

积分(从原理公式的角度去记公式) 去看前面的那个系数

卷积和乘积
d x ( t ) d t s X ( s ) − x ( 0 − ) \frac{d x(t)}{dt} \qquad sX(s)-x(0_-) dtdx(t)​sX(s)−x(0−​)

x [ n − 1 ] z − 1 X ( z ) + x [ − 1 ] x[n-1] \qquad z^{-1}X(z)+x[-1] x[n−1]z−1X(z)+x[−1]

专有名词的英文

我熟练的: signal system Fourier Series complex even odd filter

需要记忆的: trigonometric exponential line spectra(FS) rectangular polar spectrum(FT DTFT)

一些结论

注意如果real-valued 会使X(w)有 X(-w)=X(w)的共轭

如果odd even 则X(w)虚实部