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求 $ x\in[1, a] , y \in [1, b] $ 内 \(gcd(x, y) = k\)的(x， y)的对数。

问题等价于$ x\in[1, a/k] , y \in [1, b/k] $ 内 \(gcd(x, y) = 1\) 的(x， y)的对数。

假设a < b， 那么[1, a/k]这部分可以用欧拉函数算。 设 \(i\in (a/k, b/k]\), (a/k, b/k]这部分可以用容斥算， 用a/k减去[1, a/k]里面和i不互质的数的个数。

具体看代码。

#include <iostream>

#include <vector>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <complex>

#include <cmath>

#include <map>

#include <set>

#include <string>

#include <queue>

#include <stack>

#include <bitset>

using namespace std;

#define pb(x) push_back(x)

#define ll long long

#define mk(x, y) make_pair(x, y)

#define lson l, m, rt<<1

#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))

#define rson m+1, r, rt<<1|1

#define mem1(a) memset(a, -1, sizeof(a))

#define mem2(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))

#define rep(i, n, a) for(int i = a; i<n; i++)

#define fi first

#define se second

typedef complex <double> cmx;

typedef pair<int, int> pll;

const double PI = acos(-1.0);

const double eps = 1e-8;

const int mod = 1e9+7;

const int inf = 1061109567;

const int dir[][2] = { {-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1} };

const int maxn = 1e5+5;

ll phi[maxn];

vector <int> v[maxn];

void init() {

    phi[1] = 1;

    for(int i = 2; i<=100000; i++) {

        if(!phi[i]) {

            for(int j = i; j<=100000; j+=i ) {

                if(!phi[j])

                    phi[j] = j;

                phi[j] = phi[j]/i*(i-1);

                v[j].pb(i);             //筛出j的素因子

            }

        }

        phi[i] += phi[i-1];             //维护前缀和

    }

}

int cal(int n, int b) {         //算[1, b]中和n互质的数的个数

    int len = v[n].size();

    int sum = 1<<len;

    int ret = 0;

    for(int i = 1; i < sum; i++) {

        int tmp = 1, cnt = 0;

        for(int j = 0; j<len; j++) {

            if((1<<j)&i) {

                cnt++;

                tmp *= v[n][j];

            }

        }

        if(cnt & 1)

            ret += b/tmp;

        else

            ret -= b/tmp;

    }

    return b-ret;

}

int main()

{

    int cnt = 1, t, n, m, a, b, k;

    cin>>t;

    init();

    while(t--) {

        scanf("%d%d%d%d%d", &a, &a, &b, &b, &k);

        printf("Case %d: ", cnt++);

        if(a>b)

            swap(a, b);

        if(k == 0 || k>a||k>b) {

            puts("0");

            continue;

        }

        a /= k;

        b /= k;

        ll ans = phi[a];

        for(int i = a+1; i<=b; i++) {

            ans += cal(i, a);

        }

        cout<<ans<<endl;

    }

    return 0;

}